Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$

Этап 2

Умножим $\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1}$ на $\frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$ .

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{- \sec (x) - 1}{- \sec (x) - 1}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x) - 1)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) + \tan (x) \cdot - 1}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Этап 4.2

Перенесем $- 1$ влево от $\tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - 1 \cdot \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Этап 4.3

Перепишем $- 1 \tan (x)$ в виде $- \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $\tan (x) (- \sec (x)) - \tan (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(\sec (x) - 1) (- \sec (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x) - 1) - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x) - 1)}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1 - 1 (- \sec (x)) - 1 \cdot - 1}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Этап 6.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Этап 6.4

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \tan (x) \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Этап 7

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x) - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Этап 7.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Этап 7.3

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \tan^{2} (x)}$

Этап 7.4

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 7.5

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.2

Умножим $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.2.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.3

Чтобы записать $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${\cos (x)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{\cos (x) \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.4.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(- \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{\sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.6

Вынесем множитель $- \sin (x)$ из $- \sin (x) - \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $- \sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) \cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.6.2

Вынесем множитель $- \sin (x)$ из $- \sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.6.3

Вынесем множитель $- \sin (x)$ из $- \sin (x) (1) - \sin (x) (\cos (x))$ .

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Этап 8.7

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ в числитель.

$\frac{- \sin (x) (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.7.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.7.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 8.7.4

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) (- 1 (1 + \cos (x)))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 8.7.5

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{\sin (x)}$

Этап 8.8

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Этап 8.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 (1 + \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{\sin (x)}$

Этап 8.8.3

Перепишем это выражение.

$- 1 (1 + \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Этап 8.9

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 1 \cdot 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Этап 8.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(- 1 - 1 \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Этап 8.11

Перепишем $- 1 \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$(- 1 - \cos (x)) \frac{- 1}{\sin (x)}$

Этап 8.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(- 1 - \cos (x)) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 8.13

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 (- \frac{1}{\sin (x)}) - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 8.14

Умножим $- 1 (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.14.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 8.14.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 8.15

Умножим $- \cos (x) (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 9

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$

Этап 10

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\tan (x)}$

Этап 10.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} + 1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{1}{\cos (x)} + 1) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 11.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sin (x)} + 1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 11.4

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 12

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\tan (x)}{\sec (x) - 1} = \frac{\sec (x) + 1}{\tan (x)}$ — тождество