Тригонометрия Примеры

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$

Этап 1

Возведем в квадрат обе части уравнения.

${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2

Упростим ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ в виде $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.2

Развернем $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.2

Добавим круглые скобки.

$4 \cos^{2} (x) + 2 (\cos (x) (2 \sin (x))) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.3

Изменим порядок $\cos (x)$ и $2 \sin (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.4

Применим формулу двойного угла для синуса.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.5

Добавим круглые скобки.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.6

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.7

Применим формулу двойного угла для синуса.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.8

Умножим $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.8.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.8.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.8.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.1.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.3.2

Добавим $2 \sin (2 x)$ и $2 \sin (2 x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.4

Перенесем $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.5

Вынесем множитель $4$ из $4 \cos^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.6

Вынесем множитель $4$ из $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.8

Переставляем члены.

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.9

Применим формулу Пифагора.

$4 \cdot 1 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Этап 3

Перепишем ${\sqrt{6}}^{2}$ в виде $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{6}$ в виде $6^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Этап 3.4.2

Перепишем это выражение.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{1}$

Этап 3.5

Найдем экспоненту.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6$

Этап 4

Перенесем все члены без $\sin (2 x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$4 \sin (2 x) = 6 - 4$

Этап 4.2

Вычтем $4$ из $6$ .

$4 \sin (2 x) = 2$

Этап 5

Разделим каждый член $4 \sin (2 x) = 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $4 \sin (2 x) = 2$ на $4$ .

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{2}{4}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 (1)}{4}$

Этап 5.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 5.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Этап 5.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Этап 6

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Этап 8

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 8.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 8.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Этап 10

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 10.1.2

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 10.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 10.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 10.1.4.2

Вычтем $π$ из $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Этап 10.2

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 10.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Этап 10.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 10.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Этап 10.2.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 11

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 11.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 11.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 11.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 11.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 12

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 13

Исключим решения, которые не делают $2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$ истинным.

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ , для любого целого $n$