Тригонометрия Примеры

${(1 - i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 1

Воспользуемся бином Ньютона.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 \cdot 1^{2} (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$1 + 3 \cdot 1 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$1 + 3 (- i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 - 3 (i \sqrt{3}) + 3 \cdot 1 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 {(- i \sqrt{3})}^{2} + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Применим правило умножения к $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- i)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.6.2

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (1 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.8

Умножим $i^{2}$ на $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (i^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.9

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.10

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.10.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.10.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.10.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.4.1

Сократим общий множитель.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.10.4.2

Перепишем это выражение.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3^{1}) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.10.5

Найдем экспоненту.

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 (- 1 \cdot 3) + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.11

Умножим $3 (- 1 \cdot 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} + 3 \cdot - 3 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.11.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i \sqrt{3})}^{3}$

Этап 2.1.12

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Применим правило умножения к $- i \sqrt{3}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- i)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 2.1.12.2

Применим правило умножения к $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 2.1.13

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - i^{3} {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 2.1.14

Вынесем $i^{2}$ за скобки.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 2.1.15

Перепишем $i^{2}$ в виде $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 2.1.16

Перепишем $- 1 i$ в виде $- i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 - - i {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 2.1.17

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 1 i {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 2.1.18

Умножим $i$ на $1$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i {\sqrt{3}}^{3}$

Этап 2.1.19

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{3}}$

Этап 2.1.20

Возведем $3$ в степень $3$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{27}$

Этап 2.1.21

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.21.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{9 (3)}$

Этап 2.1.21.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Этап 2.1.22

Вынесем члены из-под знака корня.

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + i (3 \sqrt{3})$

Этап 2.1.23

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$1 - 3 i \sqrt{3} - 9 + 3 i \sqrt{3}$

Этап 2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вычтем $9$ из $1$ .

$- 3 i \sqrt{3} - 8 + 3 i \sqrt{3}$

Этап 2.2.2

Добавим $- 3 i \sqrt{3}$ и $3 i \sqrt{3}$ .

$0 - 8$

Этап 2.2.3

Вычтем $8$ из $0$ .

$- 8$