Тригонометрия Примеры

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\tan (2 x)$

Этап 2

Применим формулу двойного угла для тангенса.

$\frac{2 \tan (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \tan^{2} (x)}$

Этап 3.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $2$ и $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 4.2.2

Перепишем $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ в виде ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{1^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 4.2.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 4.2.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{(\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 4.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 4.2.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} (\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})}$

Этап 4.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}$

Этап 4.3

Умножим $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) \cos (x)}}$

Этап 4.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}}$

Этап 4.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}}$

Этап 4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{1 + 1}}}$

Этап 4.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 4.6

Объединим.

$\frac{2 \sin (x) {\cos (x)}^{2}}{\cos (x) ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}$

Этап 4.7

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 6

Перепишем $\frac{2 \cos (x) \sin (x)}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ в виде $\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\tan (2 x) = \frac{2}{\cot (x) - \tan (x)}$ — тождество