Тригонометрия Примеры

$\tan (θ) = 2$ , $\sin (θ) < 0$

Этап 1

The sine function is negative in the third and fourth quadrants. The tangent function is positive in the first and third quadrants. The set of solutions for $θ$ are limited to the third quadrant since that is the only quadrant found in both sets.

Решение находится в третьем квадранте.

Этап 2

Воспользуемся определением тангенса, чтобы найти известные стороны прямоугольного треугольника, вписанного в единичную окружность. Квадрант определяет знак каждого значения.

$\tan (θ) = \frac{противоположные}{смежные}$

Этап 3

Найдем гипотенузу треугольника в единичной окружности. Поскольку известны противолежащая и прилежащая стороны, используем теорему Пифагора, чтобы найти оставшуюся сторону.

$Гипотенуза = \sqrt{{противоположные}^{2} + {смежные}^{2}}$

Этап 4

Заменим известные значения в уравнении.

$Гипотенуза = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5

Упростим подкоренное выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

Гипотенуза $= \sqrt{4 + 1}$

Этап 5.3

Добавим $4$ и $1$ .

Гипотенуза $= \sqrt{5}$

Этап 6

Найдем значение синуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Воспользуемся определением синуса, чтобы найти значение $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) = \frac{opp}{hyp}$

Этап 6.2

Подставим известные значения.

$\sin (θ) = \frac{- 2}{\sqrt{5}}$

Этап 6.3

Упростим значение $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (θ) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 6.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 6.3.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 6.3.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 6.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 6.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 6.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Этап 7

Найдем значение косинуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Воспользуемся определением косинуса, чтобы найти значение $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Этап 7.2

Подставим известные значения.

$\cos (θ) = \frac{- 1}{\sqrt{5}}$

Этап 7.3

Упростим значение $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (θ) = - \frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 7.3.2

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 7.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 7.3.3.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 7.3.3.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 7.3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 7.3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 7.3.3.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.3.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.3.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 7.3.3.6.5

Найдем экспоненту.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 8

Найдем значение котангенса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Воспользуемся определением котангенса, чтобы найти значение $\cot (θ)$ .

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Этап 8.2

Подставим известные значения.

$\cot (θ) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 8.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

Этап 9

Найдем значение секанса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Воспользуемся определением секанса, чтобы найти значение $\sec (θ)$ .

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Этап 9.2

Подставим известные значения.

$\sec (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 1}$

Этап 9.3

Упростим значение $\sec (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{5}}{- 1}$ .

$\sec (θ) = - 1 \cdot \sqrt{5}$

Этап 9.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \sqrt{5}$ в виде $- \sqrt{5}$ .

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

Этап 10

Найдем значение косеканса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Воспользуемся определением косеканса, чтобы найти значение $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Этап 10.2

Подставим известные значения.

$\csc (θ) = \frac{\sqrt{5}}{- 2}$

Этап 10.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 11

Это решение для каждого тригонометрического значения.

$\sin (θ) = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

$\tan (θ) = 2$

$\cot (θ) = \frac{1}{2}$

$\sec (θ) = - \sqrt{5}$

$\csc (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{2}$