Тригонометрия Примеры

$3 \sin^{2} (θ) - 4 = - 4 \sin (θ)$

Этап 1

Добавим $4 \sin (θ)$ к обеим частям уравнения.

$3 \sin^{2} (θ) - 4 + 4 \sin (θ) = 0$

Этап 2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Изменим порядок членов.

$3 \sin^{2} (θ) + 4 \sin (θ) - 4 = 0$

Этап 2.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sin (θ)$ .

$3 \sin^{2} (θ) + 4 \sin (θ) - 4 = 0$

Этап 2.2.2

Запишем $4$ как $- 2$ плюс $6$

$3 \sin^{2} (θ) + (- 2 + 6) \sin (θ) - 4 = 0$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \sin^{2} (θ) - 2 \sin (θ) + 6 \sin (θ) - 4 = 0$

Этап 2.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$3 \sin^{2} (θ) - 2 \sin (θ) + 6 \sin (θ) - 4 = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\sin (θ) (3 \sin (θ) - 2) + 2 (3 \sin (θ) - 2) = 0$

Этап 2.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 \sin (θ) - 2$ .

$(3 \sin (θ) - 2) (\sin (θ) + 2) = 0$

Этап 3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 \sin (θ) - 2 = 0$

$\sin (θ) + 2 = 0$

Этап 4

Приравняем $3 \sin (θ) - 2$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 \sin (θ) - 2$ к $0$ .

$3 \sin (θ) - 2 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 \sin (θ) - 2 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 \sin (θ) = 2$

Этап 4.2.2

Разделим каждый член $3 \sin (θ) = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Разделим каждый член $3 \sin (θ) = 2$ на $3$ .

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \sin (θ)}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (θ)$ на $1$ .

$\sin (θ) = \frac{2}{3}$

Этап 4.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (\frac{2}{3})$

Этап 4.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{2}{3})$ .

$θ = 41.81031489$

Этап 4.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $180$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = 180 - 41.81031489$

Этап 4.2.6

Вычтем $41.81031489$ из $180$ .

$θ = 138.1896851$

Этап 4.2.7

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{360}{| b |}$ .

$\frac{360}{| b |}$

Этап 4.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{360}{| 1 |}$

Этап 4.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{360}{1}$

Этап 4.2.7.4

Разделим $360$ на $1$ .

$360$

Этап 4.2.8

Период функции $\sin (θ)$ равен $360$ . Поэтому значения повторяются через каждые $360$ град. в обоих направлениях.

$θ = 41.81031489 + 360 n, 138.1896851 + 360 n$ , для любого целого $n$

Этап 5

Приравняем $\sin (θ) + 2$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (θ) + 2$ к $0$ .

$\sin (θ) + 2 = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (θ) + 2 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\sin (θ) = - 2$

Этап 5.2.2

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $- 2$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 \sin (θ) - 2) (\sin (θ) + 2) = 0$ верно.

$θ = 41.81031489 + 360 n, 138.1896851 + 360 n$ , для любого целого $n$