Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = \frac{8}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{8}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$ не определено.

$x = 0$

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} \frac{8}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$8 lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Этап 3.1.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$8 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Этап 3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$8 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Этап 3.1.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $\infty$ .

$8 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Этап 3.1.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $\infty$ .

$8 \frac{1}{1 + lim_{x \to \infty} e^{- \frac{0.5}{x}}}$

Этап 3.1.6

Внесем предел под знак экспоненты.

$8 \frac{1}{1 + e^{lim_{x \to \infty} - \frac{0.5}{x}}}$

Этап 3.1.7

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{- lim_{x \to \infty} \frac{0.5}{x}}}$

Этап 3.1.8

Вынесем член $0.5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{- 0.5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Этап 3.2

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{- 0.5 \cdot 0}}$

Этап 3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $- 0.5$ на $0$ .

$8 \frac{1}{1 + e^{0}}$

Этап 3.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$8 \frac{1}{1 + 1}$

Этап 3.3.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$8 (\frac{1}{2})$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$2 (4) \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 4 \frac{1}{2}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$4$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = 4$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = 4$

Нет наклонных асимптот

Этап 7