Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4$

Этап 1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Этап 3

Подставим возможные корни поочередно в многочлен, чтобы найти фактические корни. Упростим и убедимся, что это значение равно $0$ , значит, это корень.

${(2)}^{3} - 4 {(2)}^{2} + 2 (2) + 4$

Этап 4

Упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $x = 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 - 4 {(2)}^{2} + 2 (2) + 4$

Этап 4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 - 4 \cdot 4 + 2 (2) + 4$

Этап 4.1.3

Умножим $- 4$ на $4$ .

$8 - 16 + 2 (2) + 4$

Этап 4.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$8 - 16 + 4 + 4$

Этап 4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $16$ из $8$ .

$- 8 + 4 + 4$

Этап 4.2.2

Добавим $- 8$ и $4$ .

$- 4 + 4$

Этап 4.2.3

Добавим $- 4$ и $4$ .

$0$

Этап 5

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4}{x - 2}$

Этап 6

Затем найдем корни оставшегося многочлена. Порядок многочлена был уменьшен на $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поместим числа, представляющие делитель и делимое, в конфигурацию для деления.

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$

Этап 6.2

Первое число в делимом $(1)$ помещается в первую позицию области результата (ниже горизонтальной линии).

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$

	$1$

Этап 6.3

Умножим последний элемент в области результата $(1)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(2)$ под следующим членом делимого $(- 4)$ .

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$
	$1$

Этап 6.4

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$
	$1$	$- 2$

Этап 6.5

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(2)$ .

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$

Этап 6.6

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$- 2$

Этап 6.7

Умножим последний элемент в области результата $(- 2)$ на делитель $(2)$ и запишем их произведение $(- 4)$ под следующим членом делимого $(4)$ .

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$- 2$

Этап 6.8

Сложим результат умножения и делимое число и поместим результат в следующую позицию в строке результатов.

$2$	$1$	$- 4$	$2$	$4$
		$2$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 2$	$- 2$	$0$

Этап 6.9

Все числа, кроме последнего, становятся коэффициентами фактор-многочлена. Последнее значение в строке результатов — это остаток.

$1 x^{2} + - 2 x - 2$

Этап 6.10

Упростим частное многочленов.

$x^{2} - 2 x - 2$

Этап 7

Решим уравнение, чтобы найти оставшиеся корни.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 7.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 7.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + \sqrt{3}$

Этап 7.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.3

Добавим $4$ и $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.4

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Этап 7.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{3}$

Этап 7.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - \sqrt{3}$

Этап 7.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Этап 8

Многочлен можно записать в виде набора линейных множителей.

$(x - 2) (x - 1 - \sqrt{3}) (x - 1 + \sqrt{3})$

Этап 9

Это корни (нули) многочлена $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 4$ .

$x = 2, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 2, 1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$x = 2, 2.73205080 \dots, - 0.73205080 \dots$

Этап 11