Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6}{x^{2} (x^{2} + 2)}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$

Этап 1.2

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x^{2} (x^{2} + 2)$ .

$\frac{(- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} (x^{2} + 2)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} (x^{2} + 2)} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6) (x^{2} + 2)}{x^{2} + 2} = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.4.2

Разделим $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Сократим общий множитель.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = \frac{A (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.1.2

Разделим $A (x^{2} + 2)$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A (x^{2} + 2) + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + A \cdot 2 + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.3

Перенесем $2$ влево от $A$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 \cdot A + \frac{B (x^{2} (x^{2} + 2))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $B (x^{2} (x^{2} + 2))$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 2)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 2)))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.4.2.3

Сократим общий множитель.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{x (B (x (x^{2} + 2)))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.4.2.4

Перепишем это выражение.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + \frac{B (x (x^{2} + 2))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.4.2.5

Разделим $B (x (x^{2} + 2))$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x (x^{2} + 2)) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.6

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.6.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x \cdot x^{2} + x \cdot 2) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x^{1 + 2} + x \cdot 2) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.6.2

Добавим $1$ и $2$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x^{3} + x \cdot 2) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B (x^{3} + 2 \cdot x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + B (2 x) + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.10

Сократим общий множитель $x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.10.1

Сократим общий множитель.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + \frac{(C x + D) (x^{2} (x^{2} + 2))}{x^{2} + 2}$

Этап 1.5.10.2

Разделим $(C x + D) (x^{2})$ на $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + (C x + D) (x^{2})$

Этап 1.5.11

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Этап 1.5.12

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.12.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Этап 1.5.12.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.12.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Этап 1.5.12.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Этап 1.5.12.3

Добавим $2$ и $1$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 B x + C x^{3} + D x^{2}$

Этап 1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Перенесем $B$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + 2 A + B x^{3} + 2 x B + C x^{3} + D x^{2}$

Этап 1.6.2

Перенесем $2 A$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + B x^{3} + 2 x B + C x^{3} + D x^{2} + 2 A$

Этап 1.6.3

Перенесем $2 x B$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + 2 x B + 2 A$

Этап 1.6.4

Перенесем $A x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 6 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + 2 x B + 2 A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$- 2 = B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$7 = A + D$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = 2 B$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$6 = 2 A$

Этап 2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$0 = 2 B$

$6 = 2 A$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$0 = 2 B$

$6 = 2 A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Решим относительно $B$ в $0 = 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем уравнение в виде $2 B = 0$ .

$2 B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Этап 3.1.2

Разделим каждый член $2 B = 0$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Разделим каждый член $2 B = 0$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Этап 3.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Этап 3.1.2.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = \frac{0}{2}$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Этап 3.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Разделим $0$ на $2$ .

$B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$B = 0$

$- 2 = B + C$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $- 2 = B + C$ на $0$ .

$- 2 = (0) + C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $0$ и $C$ .

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$6 = 2 A$

Этап 3.2.3

Перепишем уравнение в виде $2 A = 6$ .

$2 A = 6$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Этап 3.2.4

Разделим каждый член $2 A = 6$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Разделим каждый член $2 A = 6$ на $2$ .

$\frac{2 A}{2} = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Этап 3.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 A}{2} = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Этап 3.2.4.2.1.2

Разделим $A$ на $1$ .

$A = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = \frac{6}{2}$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Этап 3.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.3.1

Разделим $6$ на $2$ .

$A = 3$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = 3$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = 3$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

$A = 3$

$- 2 = C$

$B = 0$

$7 = A + D$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $A$ на $3$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = - 2$ .

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$7 = A + D$

Этап 3.3.2

Заменим все вхождения $A$ в $7 = A + D$ на $3$ .

$7 = (3) + D$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Избавимся от скобок.

$7 = 3 + D$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$7 = 3 + D$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$7 = 3 + D$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $D$ в $7 = 3 + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $3 + D = 7$ .

$3 + D = 7$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Этап 3.4.2

Перенесем все члены без $D$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$D = 7 - 3$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Этап 3.4.2.2

Вычтем $3$ из $7$ .

$D = 4$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$D = 4$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

$D = 4$

$C = - 2$

$A = 3$

$B = 0$

Этап 3.5

Решим систему уравнений.

$D = 4 C = - 2 A = 3 B = 0$

Этап 3.6

Перечислим все решения.

$D = 4, C = - 2, A = 3, B = 0$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{x^{2} + 2}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{3}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- 2 x + 4}{x^{2} + 2}$