Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x}{x^{3} + 125}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{x}{x^{3} + 125}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} + 125 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $125$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} = - 125$

Этап 2.2

Добавим $125$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} + 125 = 0$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $125$ в виде $5^{3}$ .

$x^{3} + 5^{3} = 0$

Этап 2.3.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$(x + 5) (x^{2} - x \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$(x + 5) (x^{2} - 5 x + 5^{2}) = 0$

Этап 2.3.3.2

Возведем $5$ в степень $2$ .

$(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 5 = 0$

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 5$ к $0$ .

$x + 5 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$x = - 5$

Этап 2.6

Приравняем $x^{2} - 5 x + 25$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x^{2} - 5 x + 25$ к $0$ .

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $x^{2} - 5 x + 25 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 5$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 5) (x^{2} - 5 x + 25) = 0$ верно.

$x = - 5, \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 5}$

Этап 4