Основы мат. анализа Примеры

$- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y - 64 = 0$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения гиперболы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y = 64$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $- x^{2} + 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 8$

$c = 0$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = - 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $8$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 0 - \frac{64}{- 4}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $64$ на $- 4$ .

$e = 0 - - 16$

Этап 1.2.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$e = 0 + 16$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $0$ и $16$ .

$e = 16$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x - 4)}^{2} + 16$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 16$

Этап 1.3

Подставим $- {(x - 4)}^{2} + 16$ вместо $- x^{2} + 8 x$ в уравнение $- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y = 64$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 16 + 4 y^{2} + 16 y = 64$

Этап 1.4

Перенесем $16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$- {(x - 4)}^{2} + 4 y^{2} + 16 y = 64 - 16$

Этап 1.5

Составим полный квадрат для $4 y^{2} + 16 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Этап 1.5.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.5.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Этап 1.5.3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Этап 1.5.3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{8}{4}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$d = \frac{2}{1}$

Этап 1.5.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$d = 2$

Этап 1.5.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.2.1.1

Возведем $16$ в степень $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Этап 1.5.4.2.1.2

Умножим $4$ на $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Этап 1.5.4.2.1.3

Разделим $256$ на $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Этап 1.5.4.2.1.4

Умножим $- 1$ на $16$ .

$e = 0 - 16$

Этап 1.5.4.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$e = - 16$

Этап 1.5.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(y + 2)}^{2} - 16$

Этап 1.6

Подставим $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ вместо $4 y^{2} + 16 y$ в уравнение $- x^{2} + 4 y^{2} + 8 x + 16 y = 64$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} - 16 = 64 - 16$

Этап 1.7

Перенесем $- 16$ в правую часть уравнения, прибавив $16$ к обеим частям.

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 64 - 16 + 16$

Этап 1.8

Упростим $64 - 16 + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вычтем $16$ из $64$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 48 + 16$

Этап 1.8.2

Добавим $48$ и $16$ .

$- {(x - 4)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 64$

Этап 1.9

Разделим каждый член на $64$ , чтобы правая часть была равна единице.

$- \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{64} = \frac{64}{64}$

Этап 1.10

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{{(y + 2)}^{2}}{16} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{64} = 1$

Этап 2

Это формула гиперболы. Используем эту формулу для определения вершин и асимптот гиперболы.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры гиперболы со значениями в стандартной форме. Переменная $h$ представляет сдвиг по оси X от начала координат, $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат, $a$ .

$a = 4$

$b = 8$

$k = - 2$

$h = 4$

Этап 4

Центр гиперболы имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(4, - 2)$

Этап 5