Основы мат. анализа Примеры

$\frac{4 y^{2} - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Этап 1

Разложим на множители каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2} - 8 y + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2}$ .

$\frac{4 (y^{2}) - 8 y + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 8 y$ .

$\frac{4 (y^{2}) + 4 (- 2 y) + 12}{y^{2} + y - 6} = 3$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2} + 4 (- 2 y)$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3}{y^{2} + y - 6} = 3$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2} - 2 y) + 4 \cdot 3$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{y^{2} + y - 6} = 3$

Этап 1.2

Разложим $y^{2} + y - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $1$ .

$- 2, 3$

Этап 1.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$(y - 2) (y + 3), 1$

Этап 2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$(y - 2) (y + 3)$

Этап 3

Каждый член в $\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ умножим на $(y - 2) (y + 3)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = 3$ на $(y - 2) (y + 3)$ .

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $(y - 2) (y + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (y^{2} - 2 y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} ((y - 2) (y + 3)) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Этап 3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 (y^{2} - 2 y + 3) = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Этап 3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} + 4 (- 2 y) + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Этап 3.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Умножим $- 2$ на $4$ .

$4 y^{2} - 8 y + 4 \cdot 3 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Этап 3.2.3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 ((y - 2) (y + 3))$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $(y - 2) (y + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y (y + 3) - 2 (y + 3))$

Этап 3.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 (y + 3))$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y \cdot y + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

Этап 3.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Умножим $y$ на $y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y \cdot 3 - 2 y - 2 \cdot 3)$

Этап 3.3.2.1.2

Перенесем $3$ влево от $y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 \cdot y - 2 y - 2 \cdot 3)$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + 3 y - 2 y - 6)$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2 y$ из $3 y$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 (y^{2} + y - 6)$

Этап 3.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y + 3 \cdot - 6$

Этап 3.3.4

Умножим $3$ на $- 6$ .

$4 y^{2} - 8 y + 12 = 3 y^{2} + 3 y - 18$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} = 3 y - 18$

Этап 4.1.2

Вычтем $3 y$ из обеих частей уравнения.

$4 y^{2} - 8 y + 12 - 3 y^{2} - 3 y = - 18$

Этап 4.1.3

Вычтем $3 y^{2}$ из $4 y^{2}$ .

$y^{2} - 8 y + 12 - 3 y = - 18$

Этап 4.1.4

Вычтем $3 y$ из $- 8 y$ .

$y^{2} - 11 y + 12 = - 18$

Этап 4.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$y^{2} - 11 y + 12 + 18 = 0$

Этап 4.3

Добавим $12$ и $18$ .

$y^{2} - 11 y + 30 = 0$

Этап 4.4

Разложим $y^{2} - 11 y + 30$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $30$ , а сумма — $- 11$ .

$- 6, - 5$

Этап 4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(y - 6) (y - 5) = 0$

Этап 4.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$y - 6 = 0$

$y - 5 = 0$

Этап 4.6

Приравняем $y - 6$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Приравняем $y - 6$ к $0$ .

$y - 6 = 0$

Этап 4.6.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$y = 6$

Этап 4.7

Приравняем $y - 5$ к $0$ , затем решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Приравняем $y - 5$ к $0$ .

$y - 5 = 0$

Этап 4.7.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$y = 5$

Этап 4.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(y - 6) (y - 5) = 0$ верно.

$y = 6, 5$