Основы мат. анализа Примеры

$y^{2} - 4 x - 8 y - 12 = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение в форме с выделенной вершиной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изолируем $x$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вычтем $y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x - 8 y - 12 = - y^{2}$

Этап 1.1.1.2

Добавим $8 y$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x - 12 = - y^{2} + 8 y$

Этап 1.1.1.3

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- 4 x = - y^{2} + 8 y + 12$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{8 y}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $8$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 (2 y)}{- 4} + \frac{12}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.2.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 y}{- 1}$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 1 \cdot (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.3

Перепишем $- 1 \cdot (2 y)$ в виде $- (2 y)$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - (2 y) + \frac{12}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y + \frac{12}{- 4}$

Этап 1.1.2.3.1.5

Разделим $12$ на $- 4$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$

Этап 1.2

Составим полный квадрат для $\frac{y^{2}}{4} - 2 y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 3$

Этап 1.2.2

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 1.2.3

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{4}}$

Этап 1.2.3.2.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$d = - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.3.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$d = - 4$

Этап 1.2.4

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$e = - 3 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Этап 1.2.4.2.1.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$e = - 3 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Этап 1.2.4.2.1.3

Разделим $4$ на $4$ .

$e = - 3 - \frac{4}{1}$

Этап 1.2.4.2.1.4

Разделим $4$ на $1$ .

$e = - 3 - 1 \cdot 4$

Этап 1.2.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$e = - 3 - 4$

Этап 1.2.4.2.2

Вычтем $4$ из $- 3$ .

$e = - 7$

Этап 1.2.5

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$ .

$\frac{1}{4} {(y - 4)}^{2} - 7$

Этап 1.3

Приравняем $x$ к новой правой части.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 4)}^{2} - 7$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 7$

$k = 4$

Этап 3

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 7, 4)$

Этап 4