Основы мат. анализа Примеры

${(s + 2 v)}^{5}$

Этап 1

Треугольник Паскаля можно представить в следующем виде:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

Данный треугольник можно использовать для вычисления коэффициентов разложения ${(a + b)}^{n}$ , беря степень $n$ и добавляя $1$ . Коэффициенты соответствуют строке $n + 1$ треугольника Паскаля. Для ${(s + 2 v)}^{5}$ $n = 5$ , поэтому коэффициенты разложения соответствуют строке $6$ .

Этап 2

Разложение соответствует правилу ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Значения коэффициентов, определяемые треугольником Паскаля: $1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$ .

$1 a^{5} b^{0} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + 1 a^{0} b^{5}$

Этап 3

Подставим известные значения $a$ $s$ и $b$ $2 v$ в выражение.

$1 {(s)}^{5} {(2 v)}^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим ${(s)}^{5}$ на $1$ .

${(s)}^{5} {(2 v)}^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.2

Применим правило умножения к $2 v$ .

$s^{5} (2^{0} v^{0}) + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2^{0} s^{5} v^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 s^{5} v^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.5

Умножим $s^{5}$ на $1$ .

$s^{5} v^{0} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$s^{5} \cdot 1 + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.7

Умножим $s^{5}$ на $1$ .

$s^{5} + 5 {(s)}^{4} {(2 v)}^{1} + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.8

Упростим.

$s^{5} + 5 s^{4} (2 v) + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$s^{5} + 5 \cdot 2 s^{4} v + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.10

Умножим $5$ на $2$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 10 {(s)}^{3} {(2 v)}^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.11

Применим правило умножения к $2 v$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 10 s^{3} (2^{2} v^{2}) + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.12

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$s^{5} + 10 s^{4} v + 10 \cdot 2^{2} s^{3} v^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 10 \cdot 4 s^{3} v^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.14

Умножим $10$ на $4$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 10 {(s)}^{2} {(2 v)}^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.15

Применим правило умножения к $2 v$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 10 s^{2} (2^{3} v^{3}) + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.16

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 10 \cdot 2^{3} s^{2} v^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.17

Возведем $2$ в степень $3$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 10 \cdot 8 s^{2} v^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.18

Умножим $10$ на $8$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 {(s)}^{1} {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.19

Упростим.

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 s {(2 v)}^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.20

Применим правило умножения к $2 v$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 s (2^{4} v^{4}) + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.21

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 \cdot 2^{4} s v^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.22

Возведем $2$ в степень $4$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 5 \cdot 16 s v^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.23

Умножим $5$ на $16$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + 1 {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.24

Умножим ${(s)}^{0}$ на $1$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + {(s)}^{0} {(2 v)}^{5}$

Этап 4.25

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + 1 {(2 v)}^{5}$

Этап 4.26

Умножим ${(2 v)}^{5}$ на $1$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + {(2 v)}^{5}$

Этап 4.27

Применим правило умножения к $2 v$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + 2^{5} v^{5}$

Этап 4.28

Возведем $2$ в степень $5$ .

$s^{5} + 10 s^{4} v + 40 s^{3} v^{2} + 80 s^{2} v^{3} + 80 s v^{4} + 32 v^{5}$