Основы мат. анализа Примеры

$f^{- 1} (4)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$f = y^{- 1} (4)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $y^{- 1} \cdot 4 = f$ .

$y^{- 1} \cdot 4 = f$

Этап 2.2

Разделим каждый член $y^{- 1} \cdot 4 = f$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $y^{- 1} \cdot 4 = f$ на $4$ .

$\frac{y^{- 1} \cdot 4}{4} = \frac{f}{4}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перенесем $y^{- 1}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{4 y} = \frac{f}{4}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{4 y} = \frac{f}{4}$

Этап 2.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} = \frac{f}{4}$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 4$

Этап 2.3.2

Так как $y, 4$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $1, 4$ , затем найдем НОК для части с переменной $y^{1}$ .

Этап 2.3.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.3.5

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 2.3.7

Множителем $y^{1}$ является само значение $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ встречается $1$ раз.

Этап 2.3.8

НОК $y^{1}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$y$

Этап 2.3.9

НОК $y, 4$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 y$

Этап 2.4

Каждый член в $\frac{1}{y} = \frac{f}{4}$ умножим на $4 y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $\frac{1}{y} = \frac{f}{4}$ на $4 y$ .

$\frac{1}{y} (4 y) = \frac{f}{4} (4 y)$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{1}{y} y = \frac{f}{4} (4 y)$

Этап 2.4.2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{4}{y} y = \frac{f}{4} (4 y)$

Этап 2.4.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{y} y = \frac{f}{4} (4 y)$

Этап 2.4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$4 = \frac{f}{4} (4 y)$

Этап 2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 = 4 \frac{f}{4} y$

Этап 2.4.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Сократим общий множитель.

$4 = 4 \frac{f}{4} y$

Этап 2.4.3.2.2

Перепишем это выражение.

$4 = f y$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $f y = 4$ .

$f y = 4$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $f y = 4$ на $f$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $f y = 4$ на $f$ .

$\frac{f y}{f} = \frac{4}{f}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $f$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{f y}{f} = \frac{4}{f}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4}{f}$

Этап 3

Заменим $y$ на $f^{- 1} (f)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (f) = \frac{4}{f}$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (f) = \frac{4}{f}$ обратной к $f (f) = f^{- 1} (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (f)) = f$ и $f (f^{- 1} (f)) = f$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (f))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (f))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (f^{- 1} (4))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (f^{- 1} (4)) = \frac{4}{f^{- 1} (4)}$

Этап 4.2.3

Перенесем $f^{- 1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$f^{- 1} (f^{- 1} (4)) = \frac{4 f}{4}$

Этап 4.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (f^{- 1} (4)) = \frac{4 f}{4}$

Этап 4.2.4.2

Разделим $f$ на $1$ .

$f^{- 1} (f^{- 1} (4)) = f$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (f))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (f))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\frac{4}{f})$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\frac{4}{f}) = {(\frac{4}{f})}^{- 1} (4)$

Этап 4.3.3

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$f (\frac{4}{f}) = \frac{f}{4} \cdot 4$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{4}{f}) = \frac{f}{4} \cdot 4$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{4}{f}) = f$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (f)) = f$ и $f (f^{- 1} (f)) = f$ , то $f^{- 1} (f) = \frac{4}{f}$ — обратная к $f (f) = f^{- 1} (4)$ .

$f^{- 1} (f) = \frac{4}{f}$