Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 5 x + 25}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 25}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - 5 x + 25 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 5$ и $c = 25$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.3

Вычтем $100$ из $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}, \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 3

Область определения ― все вещественные числа.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4