Основы мат. анализа Примеры

$r = - 3 + 5 \sin (θ)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- 3 + 5 \sin (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [- 3] + \frac{d}{d θ} [5 \sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [- 3] + \frac{d}{d θ} [5 \sin (θ)]$

Этап 1.1.2

Поскольку $- 3$ является константой относительно $θ$ , производная $- 3$ относительно $θ$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d θ} [5 \sin (θ)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [5 \sin (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $θ$ , производная $5 \sin (θ)$ по $θ$ равна $5 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 1.2.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$0 + 5 \cos (θ)$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $5 \cos (θ)$ .

$5 \cos (θ)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $θ$ , производная $5 \cos (θ)$ по $θ$ равна $5 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$f'' (θ) = 5 \frac{d}{d θ} (\cos (θ))$

Этап 2.2

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$f'' (θ) = 5 (- \sin (θ))$

Этап 2.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f'' (θ) = - 5 \sin (θ)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5 \cos (θ) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $5 \cos (θ) = 0$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $5 \cos (θ) = 0$ на $5$ .

$\frac{5 \cos (θ)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (θ)}{5} = \frac{0}{5}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $\cos (θ)$ на $1$ .

$\cos (θ) = \frac{0}{5}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $5$ .

$\cos (θ) = 0$

Этап 5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (0)$

Этап 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Этап 7

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 8

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 8.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Этап 9

Решение уравнения $θ = \frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 10

Найдем вторую производную в $θ = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 5 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 5 \cdot 1$

Этап 11.2

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5$

Этап 12

$θ = \frac{π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$θ = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $θ = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 + 5 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 + 5 \cdot 1$

Этап 13.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 3 + 5$

Этап 13.2.2

Добавим $- 3$ и $5$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Этап 13.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 14

Найдем вторую производную в $θ = \frac{3 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 5 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 15.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Этап 15.3

Умножим $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Этап 15.3.2

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$5$

Этап 16

$θ = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$θ = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

Этап 17

Найдем значение y, если $θ = \frac{3 π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $θ$ на $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 + 5 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 + 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 17.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 + 5 (- 1 \cdot 1)$

Этап 17.2.1.3

Умножим $5 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 + 5 \cdot - 1$

Этап 17.2.1.3.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 3 - 5$

Этап 17.2.2

Вычтем $5$ из $- 3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 8$

Этап 17.2.3

Окончательный ответ: $- 8$ .

$y = - 8$

Этап 18

Это локальные экстремумы $f (θ) = - 3 + 5 \sin (θ)$ .

$(\frac{π}{2}, 2)$ — локальный максимум

$(\frac{3 π}{2}, - 8)$ — локальный минимум

Этап 19