Основы мат. анализа Примеры

$\ln (r^{8} s^{6} \sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Этап 1

Перепишем $\ln (r^{8} s^{6} \sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$ в виде $\ln (r^{8} s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$ .

$\ln (r^{8} s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Этап 2

Перепишем $\ln (r^{8} s^{6})$ в виде $\ln (r^{8}) + \ln (s^{6})$ .

$\ln (r^{8}) + \ln (s^{6}) + \ln (\sqrt[3]{r^{9} s^{2}})$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{r^{9} s^{2}}$ в виде ${(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (r^{8}) + \ln (s^{6}) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 4

Развернем $\ln (r^{8})$ , вынося $8$ из логарифма.

$8 \ln (r) + \ln (s^{6}) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 5

Развернем $\ln (s^{6})$ , вынося $6$ из логарифма.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Этап 6

Развернем $\ln ({(r^{9} s^{2})}^{\frac{1}{3}})$ , вынося $\frac{1}{3}$ из логарифма.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} \ln (r^{9} s^{2})$

Этап 7

Перепишем $\ln (r^{9} s^{2})$ в виде $\ln (r^{9}) + \ln (s^{2})$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (\ln (r^{9}) + \ln (s^{2}))$

Этап 8

Развернем $\ln (r^{9})$ , вынося $9$ из логарифма.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r) + \ln (s^{2}))$

Этап 9

Развернем $\ln (s^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r) + 2 \ln (s))$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (9 \ln (r)) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 \ln (r)$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (3 (3 \ln (r))) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{1}{3} (3 (3 \ln (r))) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{1}{3} (2 \ln (s))$

Этап 10.3

Умножим $\frac{1}{3} (2 \ln (s))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{3}$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{2}{3} \ln (s)$

Этап 10.3.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $\ln (s)$ .

$8 \ln (r) + 6 \ln (s) + 3 \ln (r) + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Этап 11

Добавим $8 \ln (r)$ и $3 \ln (r)$ .

$11 \ln (r) + 6 \ln (s) + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Этап 12

Чтобы записать $6 \ln (s)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$11 \ln (r) + 6 \ln (s) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Этап 13

Объединим $6 \ln (s)$ и $\frac{3}{3}$ .

$11 \ln (r) + \frac{6 \ln (s) \cdot 3}{3} + \frac{2 \ln (s)}{3}$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$11 \ln (r) + \frac{6 \ln (s) \cdot 3 + 2 \ln (s)}{3}$

Этап 15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $3$ на $6$ .

$11 \ln (r) + \frac{18 \ln (s) + 2 \ln (s)}{3}$

Этап 15.2

Добавим $18 \ln (s)$ и $2 \ln (s)$ .

$11 \ln (r) + \frac{20 \ln (s)}{3}$