Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[5]{4}})$

Этап 1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}}$ .

$\log_{4} (\frac{1}{\sqrt[5]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Этап 2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[5]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{4}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{\sqrt[5]{4} {\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Этап 2.2

Возведем $\sqrt[5]{4}$ в степень $1$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{1} {\sqrt[5]{4}}^{4}})$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{1 + 4}})$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $4$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{\sqrt[5]{4}}^{5}})$

Этап 2.5

Перепишем ${\sqrt[5]{4}}^{5}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{5}}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{{(4^{\frac{1}{5}})}^{5}})$

Этап 2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{1}{5} \cdot 5}})$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{5}{5}}})$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{\frac{5}{5}}})$

Этап 2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4^{1}})$

Этап 2.5.5

Найдем экспоненту.

$\log_{4} (\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4})$

Этап 3

Перепишем $\frac{{\sqrt[5]{4}}^{4}}{4}$ в виде ${\sqrt[5]{4}}^{4} \cdot 4^{- 1}$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4} \cdot 4^{- 1})$

Этап 4

Перепишем $\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4} \cdot 4^{- 1})$ в виде $\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) + \log_{4} (4^{- 1})$

Этап 5

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) - \log_{4} (4)$

Этап 6

Логарифм $4$ по основанию $4$ равен $1$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) - 1 \cdot 1$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4}) - 1$

Этап 8

Развернем $\log_{4} ({\sqrt[5]{4}}^{4})$ , вынося $4$ из логарифма.

$4 \log_{4} (\sqrt[5]{4}) - 1$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\log_{4} (\sqrt[5]{4})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$4 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Этап 9.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$4 \frac{\log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)} - 1$

Этап 9.2

Умножим $4 \frac{\log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $4$ и $\frac{\log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)}$ .

$\frac{4 \log (\sqrt[5]{4})}{\log (4)} - 1$

Этап 9.2.2

Упростим $4 \log (\sqrt[5]{4})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\frac{\log ({\sqrt[5]{4}}^{4})}{\log (4)} - 1$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Перепишем ${\sqrt[5]{4}}^{4}$ в виде $\sqrt[5]{4^{4}}$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{4^{4}})}{\log (4)} - 1$

Этап 9.3.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{256})}{\log (4)} - 1$

Этап 9.3.3

Перепишем $256$ в виде $2^{5} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.3.1

Вынесем множитель $32$ из $256$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{32 (8)})}{\log (4)} - 1$

Этап 9.3.3.2

Перепишем $32$ в виде $2^{5}$ .

$\frac{\log (\sqrt[5]{2^{5} \cdot 8})}{\log (4)} - 1$

Этап 9.3.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\log (2 \sqrt[5]{8})}{\log (4)} - 1$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (2 \sqrt[5]{8})}{\log (4)} - 1$

Десятичная форма:

$- 0.2$