Основы мат. анализа Примеры

$\log_{4} (x^{2} + 14 x + 49) - \log_{4} (x + 7)$

Этап 1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 14 x + 49}{x + 7})$

Этап 2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 14 x + 7^{2}}{x + 7})$

Этап 2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Этап 2.3

Перепишем многочлен.

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}}{x + 7})$

Этап 2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 7$ .

$\log_{4} (\frac{{(x + 7)}^{2}}{x + 7})$

Этап 3

Сократим общий множитель ${(x + 7)}^{2}$ и $x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x + 7$ из ${(x + 7)}^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{(x + 7) (x + 7)}{x + 7})$

Этап 3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим на $1$ .

$\log_{4} (\frac{(x + 7) (x + 7)}{(x + 7) \cdot 1})$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{4} (\frac{(x + 7) (x + 7)}{(x + 7) \cdot 1})$

Этап 3.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{4} (\frac{x + 7}{1})$

Этап 3.2.4

Разделим $x + 7$ на $1$ .

$\log_{4} (x + 7)$

Этап 4

Перепишем $\log_{4} (x + 7)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 4.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (x + 7)}{\log (4)}$