Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}})$

Этап 1

Умножим $\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Этап 2

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{4 \sqrt[5]{7}}{\sqrt[3]{3}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{\sqrt[3]{3} {\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Этап 2.2

Возведем $\sqrt[3]{3}$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1} {\sqrt[3]{3}}^{2}})$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{1 + 2}})$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{\sqrt[3]{3}}^{3}})$

Этап 2.5

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{3}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3}$ в виде $3^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{{(3^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Этап 2.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Этап 2.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}})$

Этап 2.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{\frac{3}{3}}})$

Этап 2.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3^{1}})$

Этап 2.5.5

Найдем экспоненту.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} {\sqrt[3]{3}}^{2}}{3})$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{3^{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} \sqrt[3]{3^{2}}}{3})$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[5]{7} \sqrt[3]{9}}{3})$

Этап 3.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{9}$ в виде $9^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (9^{\frac{1}{3}} \sqrt[5]{7})}{3})$

Этап 3.3.1.2

Перепишем $9^{\frac{1}{3}}$ в виде $9^{\frac{5}{15}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (9^{\frac{5}{15}} \sqrt[5]{7})}{3})$

Этап 3.3.1.3

Перепишем $9^{\frac{5}{15}}$ в виде $\sqrt[15]{9^{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \sqrt[5]{7})}{3})$

Этап 3.3.1.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[5]{7}$ в виде $7^{\frac{1}{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \cdot 7^{\frac{1}{5}})}{3})$

Этап 3.3.1.5

Перепишем $7^{\frac{1}{5}}$ в виде $7^{\frac{3}{15}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \cdot 7^{\frac{3}{15}})}{3})$

Этап 3.3.1.6

Перепишем $7^{\frac{3}{15}}$ в виде $\sqrt[15]{7^{3}}$ .

$\log_{5} (\frac{4 (\sqrt[15]{9^{5}} \sqrt[15]{7^{3}})}{3})$

Этап 3.3.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{9^{5} \cdot 7^{3}}}{3})$

Этап 3.3.3

Возведем $9$ в степень $5$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{59049 \cdot 7^{3}}}{3})$

Этап 3.3.4

Возведем $7$ в степень $3$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{59049 \cdot 343}}{3})$

Этап 3.3.5

Умножим $59049$ на $343$ .

$\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})$

Этап 4

Перепишем $\log_{5} (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 4.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})}{\log (5)}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (\frac{4 \sqrt[15]{20253807}}{3})}{\log (5)}$

Десятичная форма:

$0.87563010 \dots$