Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^{3} - x}})$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3} - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x \cdot x^{2} - x}})$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- x$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}})$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x^{2} - 1)}})$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x^{2} - 1^{2})}})$

Этап 1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}})$

Этап 2

Умножим $\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$ на $\frac{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}} \cdot \frac{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}})$

Этап 3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$ на $\frac{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}})$

Этап 3.2

Возведем $\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{1} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}})$

Этап 3.3

Возведем $\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{1} {\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{1}})$

Этап 3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{1 + 1}})$

Этап 3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{2}})$

Этап 3.6

Перепишем ${\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}^{2}$ в виде $x (x + 1) (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x (x + 1) (x - 1)}$ в виде ${(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{({(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{{(x (x + 1) (x - 1))}^{1}})$

Этап 3.6.5

Упростим.

$\log_{5} (\frac{x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{x (x + 1) (x - 1)})$

Этап 4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}$ .

$\log_{5} (\frac{x (x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)})}{x (x + 1) (x - 1)})$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\log_{5} (\frac{x (x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)})}{x ((x + 1) (x - 1))})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (\frac{x (x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)})}{x ((x + 1) (x - 1))})$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (\frac{x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$

Этап 6

Перепишем $\log_{5} (\frac{x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 6.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x {(1 - 5 x)}^{\frac{3}{2}} \sqrt{x (x + 1) (x - 1)}}{(x + 1) (x - 1)})}{\log (5)}$