Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (4 \sqrt{\frac{1}{25}})$

Этап 1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{25}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ .

$\log_{5} (4 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}})$

Этап 2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\log_{5} (4 \frac{1}{\sqrt{25}})$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\log_{5} (4 \frac{1}{\sqrt{5^{2}}})$

Этап 3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\log_{5} (4 (\frac{1}{5}))$

Этап 4

Объединим $4$ и $\frac{1}{5}$ .

$\log_{5} (\frac{4}{5})$

Этап 5

Перепишем $\frac{4}{5}$ в виде $4 \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (4 \cdot 5^{- 1})$

Этап 6

Перепишем $\log_{5} (4 \cdot 5^{- 1})$ в виде $\log_{5} (4) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (4) + \log_{5} (5^{- 1})$

Этап 7

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\log_{5} (4) - \log_{5} (5)$

Этап 8

Логарифм $5$ по основанию $5$ равен $1$ .

$\log_{5} (4) - 1 \cdot 1$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\log_{5} (4) - 1$

Этап 10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем $\log_{5} (4)$ в виде $\log_{5} (2^{2})$ .

$\log_{5} (2^{2}) - 1$

Этап 10.2

Развернем $\log_{5} (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$2 \log_{5} (2) - 1$

Этап 11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перепишем $\log_{5} (2)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$2 \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Этап 11.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$2 \frac{\log (2)}{\log (5)} - 1$

Этап 11.2

Умножим $2 \frac{\log (2)}{\log (5)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $2$ и $\frac{\log (2)}{\log (5)}$ .

$\frac{2 \log (2)}{\log (5)} - 1$

Этап 11.2.2

Упростим $2 \log (2)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\log (2^{2})}{\log (5)} - 1$

Этап 11.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\log (4)}{\log (5)} - 1$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (4)}{\log (5)} - 1$

Десятичная форма:

$- 0.13864688 \dots$