Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (x - 3) + \log_{5} (\log_{5} (10))$

Этап 1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 3) \log_{5} (10))$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - 3 \log_{5} (10))$

Этап 3

Упростим $- 3 \log_{5} (10)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (10^{3}))$

Этап 4

Возведем $10$ в степень $3$ .

$\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$

Этап 5

Перепишем $\log_{5} (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 5.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (x \log_{5} (10) - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $\log_{5} (10)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log (x \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Этап 6.1.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (x \frac{\log (10)}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Этап 6.1.2

Логарифм $10$ по основанию $10$ равен $1$ .

$\frac{\log (x \frac{1}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Этап 6.1.3

Объединим $x$ и $\frac{1}{\log (5)}$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{5} (1000))}{\log (5)}$

Этап 6.1.4

Перепишем $\log_{5} (1000)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)})}{\log (5)}$

Этап 6.1.4.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000)}{\log (5)})}{\log (5)}$

Этап 6.1.5

Логарифм $1000$ по основанию $10$ равен $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Запишем как уравнение.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{\log (1000) = x}{\log (5)})}{\log (5)}$

Этап 6.1.5.2

Перепишем $\log (1000) = x$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ положительные вещественные числа, и $b$ не равно $1$ , то равенство $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 1000}{\log (5)})}{\log (5)}$

Этап 6.1.5.3

Сформируем в уравнении эквивалентные выражения с одинаковыми основаниями.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{10^{x} = 10^{3}}{\log (5)})}{\log (5)}$

Этап 6.1.5.4

Поскольку основания одинаковы, два выражения равны только в том случае, если равны экспоненты.

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{x = 3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Этап 6.1.5.5

Переменная $x$ равна $3$ .

$\frac{\log (\frac{x}{\log (5)} - \frac{3}{\log (5)})}{\log (5)}$

Этап 6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log (\frac{x - 3}{\log (5)})}{\log (5)}$