Основы мат. анализа Примеры

$\log_{5} (\sqrt[4]{\frac{1}{25}})$

Этап 1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\log_{5} (\sqrt[4]{\frac{1^{2}}{25}})$

Этап 2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\log_{5} (\sqrt[4]{\frac{1^{2}}{5^{2}}})$

Этап 3

Перепишем $\frac{1^{2}}{5^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{5})}^{2}$ .

$\log_{5} (\sqrt[4]{{(\frac{1}{5})}^{2}})$

Этап 4

Перепишем $\sqrt[4]{{(\frac{1}{5})}^{2}}$ в виде $\sqrt{\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2}}}$ .

$\log_{5} (\sqrt{\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2}}})$

Этап 5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\log_{5} (\sqrt{\frac{1}{5}})$

Этап 6

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}})$

Этап 7

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}})$

Этап 8

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 9

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

Этап 9.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

Этап 9.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

Этап 9.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

Этап 9.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

Этап 9.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Этап 9.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Этап 9.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 9.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

Этап 9.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

Этап 9.6.5

Найдем экспоненту.

$\log_{5} (\frac{\sqrt{5}}{5})$

Этап 10

Перепишем $\frac{\sqrt{5}}{5}$ в виде $\sqrt{5} \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$

Этап 11

Перепишем $\log_{5} (\sqrt{5} \cdot 5^{- 1})$ в виде $\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) + \log_{5} (5^{- 1})$

Этап 12

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$\log_{5} (\sqrt{5}) - \log_{5} (5)$

Этап 13

Логарифм $5$ по основанию $5$ равен $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1 \cdot 1$

Этап 14

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\log_{5} (\sqrt{5}) - 1$

Этап 15

Перепишем $\log_{5} (\sqrt{5})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1$

Этап 15.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Этап 16

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (\sqrt{5})}{\log (5)} - 1$

Десятичная форма:

$- 0.5$