Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\log (a) + 2 \log (b)}{\log (a b) - \log (\sqrt{a})}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log (b)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\log (a) + \log (b^{2})}{\log (a b) - \log (\sqrt{a})}$

Этап 1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (a b) - \log (\sqrt{a})}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b}{\sqrt{a}})}$

Этап 2.2

Умножим $\frac{a b}{\sqrt{a}}$ на $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}})}$

Этап 2.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{a b}{\sqrt{a}}$ на $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{\sqrt{a} \sqrt{a}})}$

Этап 2.3.2

Возведем $\sqrt{a}$ в степень $1$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{1} \sqrt{a}})}$

Этап 2.3.3

Возведем $\sqrt{a}$ в степень $1$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{1} {\sqrt{a}}^{1}})}$

Этап 2.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{1 + 1}})}$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{{\sqrt{a}}^{2}})}$

Этап 2.3.6

Перепишем ${\sqrt{a}}^{2}$ в виде $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{a}$ в виде $a^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{{(a^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

Этап 2.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{a^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

Этап 2.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{a^{\frac{2}{2}}})}$

Этап 2.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{a^{\frac{2}{2}}})}$

Этап 2.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{a^{1}})}$

Этап 2.3.6.5

Упростим.

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{a})}$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (\frac{a b \sqrt{a}}{a})}$

Этап 2.4.2

Разделим $b \sqrt{a}$ на $1$ .

$\frac{\log (a b^{2})}{\log (b \sqrt{a})}$