Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (2 \sqrt{8} \cdot (\sqrt[3]{\frac{1}{4}}))$

Этап 1

Перепишем $8$ в виде $2^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\log_{2} (2 \sqrt{4 (2)} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Этап 1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\log_{2} (2 \sqrt{2^{2} \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Этап 2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{2} (2 (2 \sqrt{2}) \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Этап 3

Умножим $2$ на $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{4}})$

Этап 4

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{4}})$

Этап 5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{4}})$

Этап 6

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}))$

Этап 7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Этап 7.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}})$

Этап 7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}})$

Этап 7.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}})$

Этап 7.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Этап 7.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Этап 7.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Этап 7.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}})$

Этап 7.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}})$

Этап 7.5.5

Найдем экспоненту.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{4})$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{4})$

Этап 8.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}}{4})$

Этап 8.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{8 (2)}}{4})$

Этап 8.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4})$

Этап 8.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Этап 9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{2}$ .

$\log_{2} (4 (\sqrt{2}) \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Этап 9.2

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (4 \sqrt{2} \cdot \frac{2 \sqrt[3]{2}}{4})$

Этап 9.3

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\sqrt{2} \cdot (2 \sqrt[3]{2}))$

Этап 10

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} (2 (2^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{2}))$

Этап 10.2

Перепишем $2^{\frac{1}{2}}$ в виде $2^{\frac{3}{6}}$ .

$\log_{2} (2 (2^{\frac{3}{6}} \sqrt[3]{2}))$

Этап 10.3

Перепишем $2^{\frac{3}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{2^{3}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[3]{2}))$

Этап 10.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2}$ в виде $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}}))$

Этап 10.5

Перепишем $2^{\frac{1}{3}}$ в виде $2^{\frac{2}{6}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \cdot 2^{\frac{2}{6}}))$

Этап 10.6

Перепишем $2^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{2^{2}}$ .

$\log_{2} (2 (\sqrt[6]{2^{3}} \sqrt[6]{2^{2}}))$

Этап 11

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3} \cdot 2^{2}})$

Этап 12

Умножим $2^{3}$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{3 + 2}})$

Этап 12.2

Добавим $3$ и $2$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{2^{5}})$

Этап 13

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$

Этап 14

Перепишем $\log_{2} (2 \sqrt[6]{32})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 14.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (2 \sqrt[6]{32})}{\log (2)}$

Десятичная форма:

$1.8\overline{3}$