Основы мат. анализа Примеры

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{32 y}})$

Этап 1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $32 y$ в виде $2^{3} \cdot (4 y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $8$ из $32$ .

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{8 (4) y}})$

Этап 1.1.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 4 y}})$

Этап 1.1.3

Добавим круглые скобки.

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{\sqrt[3]{2^{3} \cdot (4 y)}})$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{2} (\frac{16 x^{3}}{2 \sqrt[3]{4 y}})$

Этап 2

Сократим общий множитель $16$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $2$ из $16 x^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2 (8 x^{3})}{2 \sqrt[3]{4 y}})$

Этап 2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{4 y}$ .

$\log_{2} (\frac{2 (8 x^{3})}{2 (\sqrt[3]{4 y})})$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{2 (8 x^{3})}{2 \sqrt[3]{4 y}})$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}})$

Этап 3

Умножим $\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}})$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $\frac{8 x^{3}}{\sqrt[3]{4 y}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{\sqrt[3]{4 y} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}})$

Этап 4.1.2

Возведем $\sqrt[3]{4 y}$ в степень $1$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{1} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}})$

Этап 4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{1 + 2}})$

Этап 4.1.4

Добавим $1$ и $2$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 y}}^{3}})$

Этап 4.1.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4 y}}^{3}$ в виде $4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4 y}$ в виде ${(4 y)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{({(4 y)}^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Этап 4.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Этап 4.1.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{\frac{3}{3}}})$

Этап 4.1.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{\frac{3}{3}}})$

Этап 4.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{{(4 y)}^{1}})$

Этап 4.1.5.5

Упростим.

$\log_{2} (\frac{8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{4 y})$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}$ .

$\log_{2} (\frac{4 (2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2})}{4 y})$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y$ .

$\log_{2} (\frac{4 (2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2})}{4 (y)})$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\log_{2} (\frac{4 (2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2})}{4 y})$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} {\sqrt[3]{4 y}}^{2}}{y})$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4 y}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(4 y)}^{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{{(4 y)}^{2}}}{y})$

Этап 5.2

Применим правило умножения к $4 y$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{4^{2} y^{2}}}{y})$

Этап 5.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{16 y^{2}}}{y})$

Этап 5.4

Перепишем $16 y^{2}$ в виде $2^{3} \cdot (2 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{8 (2) y^{2}}}{y})$

Этап 5.4.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 y^{2}}}{y})$

Этап 5.4.3

Добавим круглые скобки.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 y^{2})}}{y})$

Этап 5.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$\log_{2} (\frac{2 x^{3} \cdot 2 \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})$

Этап 5.6

Умножим $2$ на $2$ .

$\log_{2} (\frac{4 x^{3} \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})$

Этап 6

Перепишем $\log_{2} (\frac{4 x^{3} \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 6.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{4 x^{3} \sqrt[3]{2 y^{2}}}{y})}{\log (2)}$