Основы мат. анализа Примеры

$\frac{1}{\log_{5} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)}$

Этап 1

Чтобы записать $\frac{1}{\log_{5} (35)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)}$ .

$\frac{1}{\log_{5} (35)} \cdot \frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{1}{\log_{7} (35)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$ .

$\frac{1}{\log_{5} (35)} \cdot \frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)} \cdot \frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\log_{5} (35) \log_{7} (35)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{\log_{5} (35)}$ на $\frac{\log_{7} (35)}{\log_{7} (35)}$ .

$\frac{\log_{7} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)} + \frac{1}{\log_{7} (35)} \cdot \frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{\log_{7} (35)}$ на $\frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35)}$ .

$\frac{\log_{7} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)} + \frac{\log_{5} (35)}{\log_{7} (35) \log_{5} (35)}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $\log_{7} (35) \log_{5} (35)$ .

$\frac{\log_{7} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)} + \frac{\log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log_{7} (35) + \log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\log_{7} (35)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} + \log_{5} (35)}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5.2

Перепишем $\log_{5} (35)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5.2.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} + \frac{\log (35)}{\log (5)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5.3

Чтобы записать $\frac{\log (35)}{\log (7)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} \cdot \frac{\log (5)}{\log (5)} + \frac{\log (35)}{\log (5)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5.4

Чтобы записать $\frac{\log (35)}{\log (5)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log (7)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log (35)}{\log (7)} \cdot \frac{\log (5)}{\log (5)} + \frac{\log (35)}{\log (5)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5.5

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\log (7) \log (5)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $\frac{\log (35)}{\log (7)}$ на $\frac{\log (5)}{\log (5)}$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5)}{\log (7) \log (5)} + \frac{\log (35)}{\log (5)} \cdot \frac{\log (7)}{\log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5.5.2

Умножим $\frac{\log (35)}{\log (5)}$ на $\frac{\log (7)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5)}{\log (7) \log (5)} + \frac{\log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5.5.3

Изменим порядок множителей в $\log (7) \log (5)$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5)}{\log (5) \log (7)} + \frac{\log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 5.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{5} (35) \log_{7} (35)}$

Этап 6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем $\log_{5} (35)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{7} (35)}$

Этап 6.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35)}{\log (5)} \log_{7} (35)}$

Этап 6.2

Перепишем $\log_{7} (35)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35)}{\log (5)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Этап 6.2.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35)}{\log (5)} \cdot \frac{\log (35)}{\log (7)}}$

Этап 7

Умножим $\frac{\log (35)}{\log (5)}$ на $\frac{\log (35)}{\log (7)}$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log (35) \log (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведем $\log (35)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log^{1} (35) \log (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Этап 8.2

Возведем $\log (35)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log^{1} (35) \log^{1} (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Этап 8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{{\log (35)}^{1 + 1}}{\log (5) \log (7)}}$

Этап 8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)}}{\frac{\log^{2} (35)}{\log (5) \log (7)}}$

Этап 9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)} \cdot \frac{\log (5) \log (7)}{\log^{2} (35)}$

Этап 10

Сократим общий множитель $\log (5) \log (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)}{\log (5) \log (7)} \cdot \frac{\log (5) \log (7)}{\log^{2} (35)}$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$(\log (35) \log (5) + \log (35) \log (7)) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (35) \log (5) \frac{1}{\log^{2} (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Этап 12

Сократим общий множитель $\log (35)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $\log (35)$ из $\log (35) \log (5)$ .

$\log (35) (\log (5)) \frac{1}{\log^{2} (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Этап 12.2

Вынесем множитель $\log (35)$ из $\log^{2} (35)$ .

$\log (35) (\log (5)) \frac{1}{\log (35) \log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Этап 12.3

Сократим общий множитель.

$\log (35) \log (5) \frac{1}{\log (35) \log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Этап 12.4

Перепишем это выражение.

$\log (5) \frac{1}{\log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Этап 13

Объединим $\log (5)$ и $\frac{1}{\log (35)}$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Этап 14

Сократим общий множитель $\log (35)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Вынесем множитель $\log (35)$ из $\log (35) \log (7)$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) (\log (7)) \frac{1}{\log^{2} (35)}$

Этап 14.2

Вынесем множитель $\log (35)$ из $\log^{2} (35)$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) (\log (7)) \frac{1}{\log (35) \log (35)}$

Этап 14.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (35) \log (7) \frac{1}{\log (35) \log (35)}$

Этап 14.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \log (7) \frac{1}{\log (35)}$

Этап 15

Объединим $\log (7)$ и $\frac{1}{\log (35)}$ .

$\frac{\log (5)}{\log (35)} + \frac{\log (7)}{\log (35)}$

Этап 16

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\log (5) + \log (7)}{\log (35)}$

Этап 17

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (5 \cdot 7)}{\log (35)}$

Этап 18

Умножим $5$ на $7$ .

$\frac{\log (35)}{\log (35)}$

Этап 19

Сократим общий множитель $\log (35)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (35)}{\log (35)}$

Этап 19.2

Перепишем это выражение.

$1$