Основы мат. анализа Примеры

$\frac{2 \log_{2} (3) - 1}{2 \log_{2} (3)}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $2 \log_{2} (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\log_{2} (3^{2}) - 1}{2 \log_{2} (3)}$

Этап 1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\log_{2} (9) - 1}{2 \log_{2} (3)}$

Этап 2

Упростим $2 \log_{2} (3)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\log_{2} (9) - 1}{\log_{2} (3^{2})}$

Этап 3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{\log_{2} (9) - 1}{\log_{2} (9)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\log_{2} (9)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} - 1}{\log_{2} (9)}$

Этап 4.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (9)}{\log (2)} - 1}{\log_{2} (9)}$

Этап 4.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log (9)}{\log (2)} - 1 \cdot \frac{\log (2)}{\log (2)}}{\log_{2} (9)}$

Этап 4.3

Объединим $- 1$ и $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\frac{\log (9)}{\log (2)} + \frac{- \log (2)}{\log (2)}}{\log_{2} (9)}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\log (9) - \log (2)}{\log (2)}}{\log_{2} (9)}$

Этап 4.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)}}{\log_{2} (9)}$

Этап 5

Перепишем $\log_{2} (9)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)}}{\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}}$

Этап 5.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)}}{\frac{\log (9)}{\log (2)}}$

Этап 6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (9)}$

Этап 7

Сократим общий множитель $\log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (9)}$

Этап 7.2

Перепишем это выражение.

$\log (\frac{9}{2}) \frac{1}{\log (9)}$

Этап 8

Объединим $\log (\frac{9}{2})$ и $\frac{1}{\log (9)}$ .

$\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (9)}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (\frac{9}{2})}{\log (9)}$

Десятичная форма:

$0.68453512 \dots$