Основы мат. анализа Примеры

$(\log_{4} (12^{3})) (\log_{12} (4^{3}))$

Этап 1

Возведем $12$ в степень $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (4^{3})$

Этап 2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\log_{4} (1728) \log_{12} (64)$

Этап 3

Перепишем $\log_{4} (1728)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{12} (64)$

Этап 3.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{12} (64)$

Этап 4

Перепишем $\log_{12} (64)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 4.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (1728)}{\log (4)} \cdot \frac{\log (64)}{\log (12)}$

Этап 5

Умножим $\frac{\log (1728)}{\log (4)}$ на $\frac{\log (64)}{\log (12)}$ .

$\frac{\log (1728) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Этап 6

Перепишем $\log (1728)$ в виде $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ .

$\frac{\log (2^{6} \cdot 3^{3}) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Этап 7

Перепишем $\log (2^{6} \cdot 3^{3})$ в виде $\log (2^{6}) + \log (3^{3})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (64)}{\log (4) \log (12)}$

Этап 8

Перепишем $\log (64)$ в виде $\log (2^{6})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \log (2^{6})}{\log (4) \log (12)}$

Этап 9

Развернем $\log (2^{6})$ , вынося $6$ из логарифма.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (4) \log (12)}$

Этап 10

Перепишем $\log (4)$ в виде $\log (2^{2})$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{\log (2^{2}) \log (12)}$

Этап 11

Развернем $\log (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (12)}$

Этап 12

Перепишем $\log (12)$ в виде $\log (2^{2} \cdot 3)$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) \log (2^{2} \cdot 3)}$

Этап 13

Перепишем $\log (2^{2} \cdot 3)$ в виде $\log (2^{2}) + \log (3)$ .

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Этап 14

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Вынесем множитель $2$ из $(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (6 \log (2))$ .

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Этап 14.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))$ .

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Этап 14.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 ((\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2)))}{2 (\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3)))}$

Этап 14.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель $\log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) (3 \log (2))}{\log (2) (\log (2^{2}) + \log (3))}$

Этап 14.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(\log (2^{6}) + \log (3^{3})) \cdot (3)}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Этап 15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Возведем $2$ в степень $6$ .

$\frac{(\log (64) + \log (3^{3})) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Этап 15.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$\frac{(\log (64) + \log (27)) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Этап 15.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (64 \cdot 27) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Этап 15.4

Умножим $64$ на $27$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (2^{2}) + \log (3)}$

Этап 16

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4) + \log (3)}$

Этап 16.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (4 \cdot 3)}$

Этап 16.3

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\log (1728) \cdot 3}{\log (12)}$

Этап 17

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Изменим порядок $\log (1728)$ и $3$ .

$\frac{3 \cdot \log (1728)}{\log (12)}$

Этап 17.2

Упростим $3 \cdot \log (1728)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{\log (1728^{3})}{\log (12)}$

Этап 18

Возведем $1728$ в степень $3$ .

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Этап 19

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\log (5159780352)}{\log (12)}$

Десятичная форма:

$9$