Основы мат. анализа Примеры

$(\log_{2} (3) + \log_{4} (9)) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4))$

Этап 1

Развернем $(\log_{2} (3) + \log_{4} (9)) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (3) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4)) + \log_{4} (9) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4))$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (3) \log_{3} (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) (\log_{3} (2) + \log_{9} (4))$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\log_{2} (3) \log_{3} (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\log_{2} (3)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.1.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{3} (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.2

Перепишем $\log_{3} (2)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.2.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $\log (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.4

Сократим общий множитель $\log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.4.2

Перепишем это выражение.

$1 + \log_{2} (3) \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.5

Перепишем $\log_{2} (3)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.5.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{9} (4) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.6

Перепишем $\log_{9} (4)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.6.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (4)}{\log (9)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.7

Перепишем $\log (4)$ в виде $\log (2^{2})$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2^{2})}{\log (9)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.8

Развернем $\log (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{\log (9)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.9

Перепишем $\log (9)$ в виде $\log (3^{2})$ .

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{\log (3^{2})} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.10

Развернем $\log (3^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{2 \log (3)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{2 \log (3)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.11.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.12

Сократим общий множитель $\log (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.12.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.13

Сократим общий множитель $\log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Сократим общий множитель.

$1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.13.2

Перепишем это выражение.

$1 + 1 + \log_{4} (9) \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.14

Перепишем $\log_{4} (9)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$1 + 1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.14.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$1 + 1 + \frac{\log (9)}{\log (4)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.15

Перепишем $\log (9)$ в виде $\log (3^{2})$ .

$1 + 1 + \frac{\log (3^{2})}{\log (4)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.16

Развернем $\log (3^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{\log (4)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.17

Перепишем $\log (4)$ в виде $\log (2^{2})$ .

$1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{\log (2^{2})} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.18

Развернем $\log (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{2 \log (2)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.19

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.19.1

Сократим общий множитель.

$1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{2 \log (2)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.19.2

Перепишем это выражение.

$1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{3} (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.20

Перепишем $\log_{3} (2)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.20.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.21

Сократим общий множитель $\log (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Сократим общий множитель.

$1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)} + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.21.2

Перепишем это выражение.

$1 + 1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.22

Сократим общий множитель $\log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.22.1

Сократим общий множитель.

$1 + 1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2) + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.22.2

Перепишем это выражение.

$1 + 1 + 1 + \log_{4} (9) \log_{9} (4)$

Этап 2.23

Перепишем $\log_{4} (9)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.23.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$1 + 1 + 1 + \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} \log_{9} (4)$

Этап 2.23.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (9)}{\log (4)} \log_{9} (4)$

Этап 2.24

Перепишем $\log (9)$ в виде $\log (3^{2})$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3^{2})}{\log (4)} \log_{9} (4)$

Этап 2.25

Развернем $\log (3^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$1 + 1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{\log (4)} \log_{9} (4)$

Этап 2.26

Перепишем $\log (4)$ в виде $\log (2^{2})$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{\log (2^{2})} \log_{9} (4)$

Этап 2.27

Развернем $\log (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$1 + 1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{2 \log (2)} \log_{9} (4)$

Этап 2.28

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.28.1

Сократим общий множитель.

$1 + 1 + 1 + \frac{2 \log (3)}{2 \log (2)} \log_{9} (4)$

Этап 2.28.2

Перепишем это выражение.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{9} (4)$

Этап 2.29

Перепишем $\log_{9} (4)$ , используя формулу замены основания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.29.1

Формулу замены основания можно использовать, если $a$ и $b$ больше $0$ и не равны $1$ , а $x$ больше $0$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Этап 2.29.2

Подставим значения переменных в формулу замены основания, используя $b = 10$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (4)}{\log (9)}$

Этап 2.30

Перепишем $\log (4)$ в виде $\log (2^{2})$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2^{2})}{\log (9)}$

Этап 2.31

Развернем $\log (2^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{\log (9)}$

Этап 2.32

Перепишем $\log (9)$ в виде $\log (3^{2})$ .

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{\log (3^{2})}$

Этап 2.33

Развернем $\log (3^{2})$ , вынося $2$ из логарифма.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{2 \log (3)}$

Этап 2.34

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.34.1

Сократим общий множитель.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{2 \log (2)}{2 \log (3)}$

Этап 2.34.2

Перепишем это выражение.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)}$

Этап 2.35

Сократим общий множитель $\log (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.35.1

Сократим общий множитель.

$1 + 1 + 1 + \frac{\log (3)}{\log (2)} \cdot \frac{\log (2)}{\log (3)}$

Этап 2.35.2

Перепишем это выражение.

$1 + 1 + 1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2)$

Этап 2.36

Сократим общий множитель $\log (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.36.1

Сократим общий множитель.

$1 + 1 + 1 + \frac{1}{\log (2)} \log (2)$

Этап 2.36.2

Перепишем это выражение.

$1 + 1 + 1 + 1$

Этап 3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$2 + 1 + 1$

Этап 3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3 + 1$

Этап 3.3

Добавим $3$ и $1$ .

$4$