Основы мат. анализа Примеры

$(\sqrt{2}, - \frac{3 π}{4})$

Этап 1

Используем соответствующие формулы перевода, чтобы перейти от полярных координат к прямоугольным.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Этап 2

Подставим известные значения $r = \sqrt{2}$ и $θ = - \frac{3 π}{4}$ в формулы.

$x = (\sqrt{2}) \cos (- \frac{3 π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 3

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$x = \sqrt{2} \cos (\frac{5 π}{4})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$x = \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 6

Умножим $\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 6.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 6.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

$x = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 7

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 7.4.2

Перепишем это выражение.

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 7.5

Найдем экспоненту.

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$x = - \frac{2}{2}$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 8.2

Перепишем это выражение.

$x = - 1 \cdot 1$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

$x = - 1 \cdot 1$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x = - 1$

$y = (\sqrt{2}) \sin (- \frac{3 π}{4})$

Этап 10

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$x = - 1$

$y = \sqrt{2} \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 11

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$x = - 1$

$y = \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 12

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1$

$y = \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 13

Умножим $\sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Этап 13.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Этап 13.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{\sqrt{2} \sqrt{2}}{2}$

Этап 13.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = - 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Этап 13.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$x = - 1$

$y = - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Этап 14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Этап 14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Этап 14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = - 1$

$y = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Сократим общий множитель.

$x = - 1$

$y = - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Этап 14.4.2

Перепишем это выражение.

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Этап 14.5

Найдем экспоненту.

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Этап 15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Сократим общий множитель.

$x = - 1$

$y = - \frac{2}{2}$

Этап 15.2

Перепишем это выражение.

$x = - 1$

$y = - 1 \cdot 1$

$x = - 1$

$y = - 1 \cdot 1$

Этап 16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x = - 1$

$y = - 1$

Этап 17

Представление точки $(\sqrt{2}, - \frac{3 π}{4})$ , заданной в полярных координатах, в прямоугольной системе координат имеет вид $(- 1, - 1)$ .

$(- 1, - 1)$