Основы мат. анализа Примеры

$(4, \frac{7 π}{12})$

Этап 1

Используем соответствующие формулы перевода, чтобы перейти от полярных координат к прямоугольным.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Этап 2

Подставим известные значения $r = 4$ и $θ = \frac{7 π}{12}$ в формулы.

$x = (4) \cos (\frac{7 π}{12})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3

Точное значение $\cos (\frac{7 π}{12})$ : $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Представим $\frac{7 π}{12}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$x = 4 \cos (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$x = 4 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4.6

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Умножим $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 3.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 4 (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ в числитель.

$x = 4 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 2 (2) (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 4.3

Сократим общий множитель.

$x = 2 \cdot (2 (\frac{- \sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}))$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 4.4

Перепишем это выражение.

$x = 2 (- \sqrt{2 - \sqrt{3}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

$x = 2 (- \sqrt{2 - \sqrt{3}})$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = (4) \sin (\frac{7 π}{12})$

Этап 6

Точное значение $\sin (\frac{7 π}{12})$ : $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Этап 6.2

Применим формулу половинного угла для синуса.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}})$

Этап 6.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку синус принимает положительные значения во втором квадранте.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Этап 6.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Этап 6.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})}{2}}$

Этап 6.4.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Этап 6.4.6

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Этап 6.4.7

Умножим $\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.7.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Этап 6.4.7.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Этап 6.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}})$

Этап 6.4.9

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.9.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Этап 6.4.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

Этап 7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 (2) (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2})$

Этап 7.2

Сократим общий множитель.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 \cdot (2 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}))$

Этап 7.3

Перепишем это выражение.

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

$x = - 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$y = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

Этап 8

Представление точки $(4, \frac{7 π}{12})$ , заданной в полярных координатах, в прямоугольной системе координат имеет вид $(- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}, 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}})$ .

$(- 2 \sqrt{2 - \sqrt{3}}, 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}})$