Основы мат. анализа Примеры

$(4, \frac{π}{12})$

Этап 1

Используем соответствующие формулы перевода, чтобы перейти от полярных координат к прямоугольным.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Этап 2

Подставим известные значения $r = 4$ и $θ = \frac{π}{12}$ в формулы.

$x = (4) \cos (\frac{π}{12})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3

Точное значение $\cos (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$x = 4 \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.2

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$x = 4 (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.7.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 3.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$x = 4 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = (4) \sin (\frac{π}{12})$

Этап 5

Точное значение $\sin (\frac{π}{12})$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим $\frac{π}{12}$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Этап 5.2

Применим формулу для разности углов.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 5.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 5.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 5.5

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 5.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Этап 5.7.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Этап 5.7.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})$

Этап 5.7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Этап 6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = 4 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

$x = \sqrt{6} + \sqrt{2}$

$y = \sqrt{6} - \sqrt{2}$

Этап 7

Представление точки $(4, \frac{π}{12})$ , заданной в полярных координатах, в прямоугольной системе координат имеет вид $(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$ .

$(\sqrt{6} + \sqrt{2}, \sqrt{6} - \sqrt{2})$