Основы мат. анализа Примеры

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{y + 4}{81} = 1$

Этап 1

Изолируем $y$ в левой части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} - \frac{y + 4}{81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы записать $\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{y + 4}{81} = 1$

Этап 1.1.2

Чтобы записать $- \frac{y + 4}{81}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2}}{36} \cdot \frac{9}{9} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Этап 1.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $324$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим $\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}$ на $\frac{9}{9}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{36 \cdot 9} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Этап 1.1.3.2

Умножим $36$ на $9$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{y + 4}{81} \cdot \frac{4}{4} = 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $\frac{y + 4}{81}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{(y + 4) \cdot 4}{81 \cdot 4} = 1$

Этап 1.1.3.4

Умножим $81$ на $4$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9}{324} - \frac{(y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

Этап 1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 9 - (y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

Этап 1.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Перенесем $9$ влево от ${(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(x + 4)}^{2} - (y + 4) \cdot 4}{324} = 1$

Этап 1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} + (- y - 1 \cdot 4) \cdot 4}{324} = 1$

Этап 1.1.5.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} + (- y - 4) \cdot 4}{324} = 1$

Этап 1.1.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - y \cdot 4 - 4 \cdot 4}{324} = 1$

Этап 1.1.5.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 4 \cdot 4}{324} = 1$

Этап 1.1.5.6

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} = 1$

Этап 1.2

Умножим обе части на $324$ .

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} \cdot 324 = 1 \cdot 324$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Сократим общий множитель $324$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16}{324} \cdot 324 = 1 \cdot 324$

Этап 1.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16 = 1 \cdot 324$

Этап 1.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Умножим $324$ на $1$ .

$9 {(x + 4)}^{2} - 4 y - 16 = 324$

Этап 1.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вычтем $9 {(x + 4)}^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 4 y - 16 = 324 - 9 {(x + 4)}^{2}$

Этап 1.4.1.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$- 4 y = 324 - 9 {(x + 4)}^{2} + 16$

Этап 1.4.1.3

Добавим $324$ и $16$ .

$- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$

Этап 1.4.2

Разделим каждый член $- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Разделим каждый член $- 4 y = - 9 {(x + 4)}^{2} + 340$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

Этап 1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

Этап 1.4.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 9 {(x + 4)}^{2}}{- 4} + \frac{340}{- 4}$

Этап 1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y = \frac{9 {(x + 4)}^{2}}{4} + \frac{340}{- 4}$

Этап 1.4.2.3.1.2

Разделим $340$ на $- 4$ .

$y = \frac{9 {(x + 4)}^{2}}{4} - 85$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$y = \frac{9}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 85$

Этап 2

Воспользуемся формой с выделенной вершиной $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , чтобы определить значения $a$ , $h$ и $k$ .

$a = \frac{9}{4}$

$h = - 4$

$k = - 85$

Этап 3

Поскольку $a$ имеет положительное значение, ветви параболы направлены вверх.

вверх

Этап 4

Найдем вершину $(h, k)$ .

$(- 4, - 85)$

Этап 5

Найдем $p$ , расстояние от вершины до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от вершины до фокуса параболы, используя следующую формулу.

$\frac{1}{4 a}$

Этап 5.2

Подставим значение $a$ в формулу.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{9}{4}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $4$ и $\frac{9}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 9}{4}}$

Этап 5.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{1}{\frac{36}{4}}$

Этап 5.3.2.2

Разделим $36$ на $4$ .

$\frac{1}{9}$

Этап 6

Найдем фокус.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Фокус параболы можно найти, добавив $p$ к координате y $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$(h, k + p)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$(- 4, - \frac{764}{9})$

Этап 7

Найдем ось симметрии, то есть линию, которая проходит через вершину и фокус.

$x = - 4$

Этап 8

Найдем направляющую.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Директриса параболы ― это горизонтальная прямая, которую можно найти вычитанием $p$ из y-координаты вершины $k$ , если ветви параболы направлены вверх или вниз.

$y = k - p$

Этап 8.2

Подставим известные значения $p$ и $k$ в формулу и упростим.

$y = - \frac{766}{9}$

Этап 9

Используем свойства параболы для анализа и построения ее графика.

Направление ветвей: вверх

Вершина: $(- 4, - 85)$

Фокус: $(- 4, - \frac{764}{9})$

Ось симметрии: $x = - 4$

Директриса: $y = - \frac{766}{9}$

Этап 10