Основы мат. анализа Примеры

$\tan (t) = - 1$ , $\csc (t) = 0$

Step 1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из тангенса.

$t = \arctan (- 1)$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$t = - \frac{π}{4}$

Step 3

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$t = - \frac{π}{4} - π$

Step 4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$t = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$t = \frac{3 π}{4}$

Step 5

Найдем период $\tan (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Step 6

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Перечислим новые углы.

$t = \frac{3 π}{4}$

Step 7

Период функции $\tan (t)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$t = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Step 8

Объединим ответы.

$t = \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Step 9

Заменим все вхождения $t$ в $\csc (t) = 0$ на $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$\csc (\frac{3 π}{4} + π n) = 0$

$t = \frac{3 π}{4} + π n$

Step 10

Множество значений косеканса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $0$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Step 11

Решим уравнение относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $\frac{3 π}{4} + π n = t$ .

$\frac{3 π}{4} + π n = t$

Нет решения

Вычтем $\frac{3 π}{4}$ из обеих частей уравнения.

$π n = t - \frac{3 π}{4}$

Нет решения

Разделим каждый член $π n = t - \frac{3 π}{4}$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $π n = t - \frac{3 π}{4}$ на $π$ .

$\frac{π n}{π} = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

Нет решения

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{π n}{π} = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

Нет решения

Разделим $n$ на $1$ .

$n = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

Нет решения

$n = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

Нет решения

$n = \frac{t}{π} + \frac{- \frac{3 π}{4}}{π}$

Нет решения

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$n = \frac{t}{π} - \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{π}$

Нет решения

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 π}{4}$ в числитель.

$n = \frac{t}{π} + \frac{- 3 π}{4} \cdot \frac{1}{π}$

Нет решения

Вынесем множитель $π$ из $- 3 π$ .

$n = \frac{t}{π} + \frac{π \cdot - 3}{4} \cdot \frac{1}{π}$

Нет решения

Сократим общий множитель.

$n = \frac{t}{π} + \frac{π \cdot - 3}{4} \cdot \frac{1}{π}$

Нет решения

Перепишем это выражение.

$n = \frac{t}{π} + \frac{- 3}{4}$

Нет решения

$n = \frac{t}{π} + \frac{- 3}{4}$

Нет решения

Вынесем знак минуса перед дробью.

$n = \frac{t}{π} - \frac{3}{4}$

Нет решения

$n = \frac{t}{π} - \frac{3}{4}$

Нет решения

$n = \frac{t}{π} - \frac{3}{4}$

Нет решения

$n = \frac{t}{π} - \frac{3}{4}$

Нет решения

Step 12

Данная упрощенная система служит произвольным решением исходной системы уравнений.

Нет решения