Основы мат. анализа Примеры

$q = x y$ , $x + y = 50$

Step 1

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем уравнение в виде $x y = q$ .

$x y = q$

$x + y = 50$

Разделим каждый член $x y = q$ на $y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $x y = q$ на $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{q}{y}$

$x + y = 50$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{y} = \frac{q}{y}$

$x + y = 50$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{q}{y}$

$x + y = 50$

$x = \frac{q}{y}$

$x + y = 50$

$x = \frac{q}{y}$

$x + y = 50$

$x = \frac{q}{y}$

$x + y = 50$

$x = \frac{q}{y}$

$x + y = 50$

Step 2

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$\frac{q}{y} + y = 50$

$x = \frac{q}{y}$

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

$x = \frac{q}{y}$

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x = \frac{q}{y}$

Каждый член в $\frac{q}{y} + y = 50$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим каждый член $\frac{q}{y} + y = 50$ на $y$ .

$\frac{q}{y} \cdot y + y \cdot y = 50 y$

$x = \frac{q}{y}$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{q}{y} \cdot y + y \cdot y = 50 y$

$x = \frac{q}{y}$

Перепишем это выражение.

$q + y \cdot y = 50 y$

$x = \frac{q}{y}$

$q + y \cdot y = 50 y$

$x = \frac{q}{y}$

Умножим $y$ на $y$ .

$q + y^{2} = 50 y$

$x = \frac{q}{y}$

$q + y^{2} = 50 y$

$x = \frac{q}{y}$

$q + y^{2} = 50 y$

$x = \frac{q}{y}$

$q + y^{2} = 50 y$

$x = \frac{q}{y}$

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $50 y$ из обеих частей уравнения.

$q + y^{2} - 50 y = 0$

$x = \frac{q}{y}$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = \frac{q}{y}$

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 50$ и $c = q$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{50 \pm \sqrt{{(- 50)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 50$ в степень $2$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем множитель $4$ из $2500 - 4 q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $2500$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625) - 4 q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем множитель $4$ из $- 4 q$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625) + 4 (- q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем множитель $4$ из $4 (625) + 4 (- q)$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625 - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625 - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Перепишем $4 (625 - q)$ в виде $2^{2} (25^{2} - q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2^{2} (625 - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Перепишем $625$ в виде $25^{2}$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2^{2} (25^{2} - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2^{2} (25^{2} - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{25^{2} - q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Возведем $25$ в степень $2$ .

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2}$

$x = \frac{q}{y}$

Упростим $\frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2}$ .

$y = 25 \pm \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = 25 \pm \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 50$ в степень $2$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем множитель $4$ из $2500 - 4 q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $2500$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625) - 4 q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем множитель $4$ из $- 4 q$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625) + 4 (- q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем множитель $4$ из $4 (625) + 4 (- q)$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625 - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625 - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Перепишем $4 (625 - q)$ в виде $2^{2} (25^{2} - q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2^{2} (625 - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Перепишем $625$ в виде $25^{2}$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2^{2} (25^{2} - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2^{2} (25^{2} - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{25^{2} - q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Возведем $25$ в степень $2$ .

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2}$

$x = \frac{q}{y}$

Упростим $\frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2}$ .

$y = 25 \pm \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = 25 + \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = 25 + \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведем $- 50$ в степень $2$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot 1 \cdot q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем множитель $4$ из $2500 - 4 q$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4$ из $2500$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625) - 4 q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем множитель $4$ из $- 4 q$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625) + 4 (- q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем множитель $4$ из $4 (625) + 4 (- q)$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625 - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = \frac{50 \pm \sqrt{4 (625 - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Перепишем $4 (625 - q)$ в виде $2^{2} (25^{2} - q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2^{2} (625 - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Перепишем $625$ в виде $25^{2}$ .

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2^{2} (25^{2} - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = \frac{50 \pm \sqrt{2^{2} (25^{2} - q)}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{25^{2} - q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Возведем $25$ в степень $2$ .

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2 \cdot 1}$

$x = \frac{q}{y}$

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2}$

$x = \frac{q}{y}$

Упростим $\frac{50 \pm 2 \sqrt{625 - q}}{2}$ .

$y = 25 \pm \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = 25 - \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = 25 - \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 25 + \sqrt{625 - q}$

$y = 25 - \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = 25 + \sqrt{625 - q}$

$y = 25 - \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

$y = 25 + \sqrt{625 - q}$

$y = 25 - \sqrt{625 - q}$

$x = \frac{q}{y}$

Step 3

Данная упрощенная система служит произвольным решением исходной системы уравнений.

$x = \frac{q}{(25 + \sqrt{625 - q}, 25 - \sqrt{625 - q})}$

$y = 25 + \sqrt{625 - q}$

$y = 25 - \sqrt{625 - q}$