Основы мат. анализа Примеры

$x = - 5 \sin (4 t)$ , $y = 5 \cos (4 t)$

Этап 1

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем уравнение в виде $- 5 \sin (4 t) = x$ .

$- 5 \sin (4 t) = x$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 1.2

Разделим каждый член $- 5 \sin (4 t) = x$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим каждый член $- 5 \sin (4 t) = x$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 \sin (4 t)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 \sin (4 t)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 1.2.2.1.2

Разделим $\sin (4 t)$ на $1$ .

$\sin (4 t) = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$\sin (4 t) = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$\sin (4 t) = \frac{x}{- 5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (4 t) = - \frac{x}{5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$\sin (4 t) = - \frac{x}{5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$\sin (4 t) = - \frac{x}{5}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 1.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$4 t = \arcsin (- \frac{x}{5})$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 1.4

Разделим каждый член $4 t = \arcsin (- \frac{x}{5})$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разделим каждый член $4 t = \arcsin (- \frac{x}{5})$ на $4$ .

$\frac{4 t}{4} = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 t}{4} = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 1.4.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (- \frac{x}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим $\frac{\arcsin (- \frac{- 5 \sin (4 t)}{5})}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5 \sin (4 t)$ .

$t = \frac{\arcsin (- \frac{5 (- \sin (4 t))}{5})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 2.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$t = \frac{\arcsin (- \frac{5 (- \sin (4 t))}{5 (1)})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$t = \frac{\arcsin (- \frac{5 (- \sin (4 t))}{5 \cdot 1})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$t = \frac{\arcsin (- \frac{- \sin (4 t)}{1})}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 2.1.1.2.4

Разделим $- \sin (4 t)$ на $1$ .

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 2.1.2

Умножим $- - \sin (4 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$t = \frac{\arcsin (1 \sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 2.1.2.2

Умножим $\sin (4 t)$ на $1$ .

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (4 t)$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $5 \cos (4 (\frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y = 5 \cos (4 (\frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}))$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 5 \cos (\arcsin (\sin (4 t)))$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \cos (\arcsin (\sin (4 t)))$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 3.1.1.2

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.2.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}, \sin (4 t))$ , $(\sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\sin (4 t))$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}, \sin (4 t))$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\sin (4 t)))$ равно $\sqrt{1 - \sin^{2} (4 t)}$ .

$y = 5 \sqrt{1 - \sin^{2} (4 t)}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 3.1.1.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = 5 \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{1^{2} - \sin^{2} (4 t)}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (4 t)$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin (4 t)) (1 - \sin (4 t))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin (4 t)) (1 - \sin (4 t))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin (4 t)) (1 - \sin (4 t))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 4

Сократим систему.

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим $5 \sqrt{(1 + \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $4$ на каждый элемент матрицы.

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((4 (- \frac{1}{5}), 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $4 (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- 4 (\frac{1}{5}), 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.2.1.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((\frac{- 4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((\frac{- 4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.2.3

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.2.4

Умножим $4$ на $0.1$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 4 \cdot 0.3))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.2.5

Умножим $4$ на $0.3$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin (4 (- \frac{1}{5}, 0, 0.1, 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.3

Умножим $4$ на каждый элемент матрицы.

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((4 (- \frac{1}{5}), 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.4

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Умножим $4 (- \frac{1}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- 4 (\frac{1}{5}), 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.4.1.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{5}$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((\frac{- 4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((\frac{- 4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.4.3

Умножим $4$ на $0$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 4 \cdot 0.1, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.4.4

Умножим $4$ на $0.1$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 4 \cdot 0.3)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

Этап 5.1.4.5

Умножим $4$ на $0.3$ .

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$

$y = 5 \sqrt{(1 + \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2))) (1 - \sin ((- \frac{4}{5}, 0, 0.4, 1.2)))}$

$t = \frac{\arcsin (\sin (4 t))}{4}$