Основы мат. анализа Примеры

$\tan (x) = - \frac{12}{15}$ , $\tan (2 x) = y$

Этап 1

Сократим общий множитель $12$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\tan (x) = - \frac{3 (4)}{15}$

Этап 1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\tan (x) = - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\tan (x) = - \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 5}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\tan (x) = - \frac{4}{5}$

Этап 2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- \frac{4}{5})$

Этап 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{4}{5})$ .

$x = - 0.67474094$

Этап 4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - 0.67474094 - (3.14159265)$

Этап 5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2 π$ к $- 0.67474094 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.67474094 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 5.2

Результирующий угол $2.46685171$ является положительным и отличается от $- 0.67474094 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$x = 2.46685171$

Этап 6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $π$ к $- 0.67474094$ , чтобы найти положительный угол.

$- 0.67474094 + π$

Этап 7.2

Заменим на десятичную аппроксимацию.

$3.14159265 - 0.67474094$

Этап 7.3

Вычтем $0.67474094$ из $3.14159265$ .

$2.46685171$

Этап 7.4

Перечислим новые углы.

$x = 2.46685171$

Этап 8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.46685171 + π n, 2.46685171 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим $2.46685171 + π n$ и $2.46685171 + π n$ в $2.46685171 + π n$ .

$x = 2.46685171 + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Заменим все вхождения $x$ на $2.46685171 + π n$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $x$ в $\tan (2 x) = y$ на $2.46685171 + π n$ .

$\tan (2 (2.46685171 + π n)) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 10.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим $\tan (2 (2.46685171 + π n))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (2 \cdot 2.46685171 + 2 (π n)) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 10.2.1.2

Умножим $2$ на $2.46685171$ .

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

$\tan (4.93370342 + 2 π n) = y$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 11

Решим уравнение относительно $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $π$ из тангенса.

$4.93370342 + 2 π n = \arctan (y)$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 11.2

Перенесем все члены без $`$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $4.93370342$ из обеих частей уравнения.

$2 π n = \arctan (y) - 4.93370342$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 11.2.2

Вычтем $2 π n$ из обеих частей уравнения.

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 11.3

Перепишем уравнение в виде $\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$ .

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 11.4

Перенесем все члены без $`$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Вычтем $4.93370342$ из обеих частей уравнения.

$2 π n = \arctan (y) - 4.93370342$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 11.4.2

Вычтем $2 π n$ из обеих частей уравнения.

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

$0 = \arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 11.5

Перепишем уравнение в виде $\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$ .

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$x = 2.46685171 + π n$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$x = 2.46685171 + π n$

Этап 12

Решим уравнение относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перепишем уравнение в виде $2.46685171 + 0 \cdot n = x$ .

$2.46685171 + 0 \cdot n = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Этап 12.2

Упростим $2.46685171 + 0 \cdot n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $0$ на $n$ .

$2.46685171 + 0 = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Этап 12.2.2

Добавим $2.46685171$ и $0$ .

$2.46685171 = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

$2.46685171 = x$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Этап 12.3

Перепишем $2.46685171 = x$ так, чтобы выражение $x$ находилось в левой части.

$x = 2.46685171$

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Этап 12.4

Переменная $n$ исключена.

Все вещественные числа

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Все вещественные числа

$\arctan (y) - 4.93370342 - 2 π n = 0$

Этап 13

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Перепишем уравнение в виде $y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a n l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)))$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a n l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)))$

Этап 13.2

Упростим $\tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a n l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Умножим $a$ на $a$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Перенесем $a$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t (a \cdot a) n l \cdot l (r e l) (n u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.1.2

Умножим $a$ на $a$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n l \cdot l (r e l) (n u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.2

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Перенесем $n$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} (n \cdot n) l \cdot l (r e l) (u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.2.2

Умножим $n$ на $n$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l \cdot l (r e l) (u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.3

Умножим $l$ на $l$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1

Перенесем $l$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} (l \cdot l) (r e l) (u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.3.2

Умножим $l$ на $l$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{2} (r e l) (u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.4

Умножим $l^{2}$ на $l$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.1

Перенесем $l$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} (l \cdot l^{2}) (r e) (u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.4.2

Умножим $l$ на $l^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.2.1

Возведем $l$ в степень $1$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} (l^{1} l^{2}) (r e) (u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{1 + 2} (r e) (u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r e) (u m b e r s)))$

Этап 13.2.1.5

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.5.1

Перенесем $r$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r \cdot r e) (u m b e s)))$

Этап 13.2.1.5.2

Умножим $r$ на $r$ .

$y = \tan (4.93370342 + 2 (0) \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r^{2} e) (u m b e s)))$

Этап 13.2.1.6

Умножим $2$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} (r^{2} e) (u m b e s)))$

Этап 13.2.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (e t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e s)))$

Этап 13.2.1.8

Умножим $e t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e s)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.8.1

Возведем $e$ в степень $1$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b (e^{1} e) s)))$

Этап 13.2.1.8.2

Возведем $e$ в степень $1$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b (e^{1} e^{1}) s)))$

Этап 13.2.1.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e^{1 + 1} s)))$

Этап 13.2.1.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} (u m b e^{2} s)))$

Этап 13.2.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y = \tan (4.93370342 + 0 \cdot (e^{2} t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

Этап 13.2.1.10

Умножим $0 (e^{2} t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.10.1

Умножим $e^{2}$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (t a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

Этап 13.2.1.10.2

Умножим $t$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (a^{2} n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

Этап 13.2.1.10.3

Умножим $a^{2}$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (n^{2} l^{3} r^{2} u m b s))$

Этап 13.2.1.10.4

Умножим $n^{2}$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (l^{3} r^{2} u m b s))$

Этап 13.2.1.10.5

Умножим $l^{3}$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (r^{2} u m b s))$

Этап 13.2.1.10.6

Умножим $r^{2}$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (u m b s))$

Этап 13.2.1.10.7

Умножим $u$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (m b s))$

Этап 13.2.1.10.8

Умножим $m$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 (b s))$

Этап 13.2.1.10.9

Умножим $b$ на $0$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0 s)$

Этап 13.2.1.10.10

Умножим $0$ на $s$ .

$y = \tan (4.93370342 + 0)$

Этап 13.2.2

Добавим $4.93370342$ и $0$ .

$y = \tan (4.93370342)$