Основы мат. анализа Примеры

$x = 2 \sin (t)$ , $y = 2 \cos (t)$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = 2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2

Упростим $2 \cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{x}{2})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{x}{2}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$y = 2 \sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 2 \sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot (1 - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.3.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 2 \sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.3.5

Умножим $\frac{2 + x}{2}$ на $\frac{2 - x}{2}$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $2$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = 2 \sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.4

Перепишем $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(2 + x) (2 - x)$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.4.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.4.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = 2 \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = 2 (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{(2 + x) (2 - x)})$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$y = 2 (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2})$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель.

$y = 2 (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2})$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

Этап 2.7.2

Перепишем это выражение.

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$

$y = \sqrt{(2 + x) (2 - x)}$

$t = \arcsin (\frac{x}{2})$