Основы мат. анализа Примеры

$x = 4 + 2 \cos (t)$ , $y = - 1 + 4 \sin (t)$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$x = 4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2

Упростим $4 + 2 \cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, 0)$ и начале координат. Тогда $\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}, \frac{y}{4} + \frac{1}{4})$ . Следовательно, $\cos (\arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))$ равно $\sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{1 - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{1^{2} - {(\frac{y}{4} + \frac{1}{4})}^{2}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \frac{y}{4} + \frac{1}{4}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(1 + \frac{y}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4}{4} + \frac{1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{4 + 1}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.4.3

Добавим $4$ и $1$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - (\frac{y}{4} + \frac{1}{4}))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (1 - \frac{y}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4}{4} - \frac{1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{4 - 1}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.4.7

Вычтем $1$ из $4$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{(\frac{y}{4} + \frac{5}{4}) (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot (- \frac{y}{4} + \frac{3}{4})}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{y + 5}{4} \cdot \frac{- y + 3}{4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.7

Умножим $\frac{y + 5}{4}$ на $\frac{- y + 3}{4}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{4 \cdot 4}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.8

Умножим $4$ на $4$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.9

Перепишем $\frac{(y + 5) (- y + 3)}{16}$ в виде ${(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(y + 5) (- y + 3)$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{16}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.9.2

Вынесем полную степень $4^{2}$ из $16$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.9.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((y + 5) (- y + 3))}{4^{2} \cdot 1}$ .

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + 2 \sqrt{{(\frac{1}{4})}^{2} ((y + 5) (- y + 3))}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = 4 + 2 (\frac{1}{4} \cdot \sqrt{(y + 5) (- y + 3)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.11

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}$ .

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{4})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 (2)})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.12.2

Сократим общий множитель.

$x = 4 + 2 (\frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2 \cdot 2})$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.1.12.3

Перепишем это выражение.

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = 4 + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.3

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{4 \cdot 2 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $2$ .

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$

$x = \frac{8 + \sqrt{(y + 5) (- y + 3)}}{2}$

$t = \arcsin (\frac{y}{4} + \frac{1}{4})$