Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x) = \frac{15}{17}$ , $\cos (2 x) = y$

Step 1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{15}{17})$

Step 2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем значение $\arcsin (\frac{15}{17})$ .

$x = 1.080839$

Step 3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = (3.14159265) - 1.080839$

Step 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Избавимся от скобок.

$x = 3.14159265 - 1.080839$

Избавимся от скобок.

$x = (3.14159265) - 1.080839$

Вычтем $1.080839$ из $3.14159265$ .

$x = 2.06075365$

Step 5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Step 6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 1.080839 + 2 π n, 2.06075365 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Step 7

Изменим порядок $1.080839$ и $2 π n$ .

$x = 2 π n + 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

Step 8

Решим уравнение относительно $n$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 2.06075365 + 2 (2 π n)) \cdot n + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Умножим $2$ на $2.06075365$ .

$(4.1215073 + 2 (2 π n)) \cdot n + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Умножим $2$ на $2$ .

$(4.1215073 + 4 (π n)) \cdot n + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Применим свойство дистрибутивности.

$4.1215073 n + 4 π n \cdot n + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $n$ .

$4.1215073 n + 4 π (n \cdot n) + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Умножим $n$ на $n$ .

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим свойство дистрибутивности.

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + (2 \cdot 2.06075365 + 2 (2 π n)) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Умножим $2$ на $2.06075365$ .

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + (4.1215073 + 2 (2 π n)) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Умножим $2$ на $2$ .

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + (4.1215073 + 4 (π n)) \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Применим свойство дистрибутивности.

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π n \cdot n$

$2.06075365 + 2 π n$

Умножим $n$ на $n$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перенесем $n$ .

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π (n \cdot n)$

$2.06075365 + 2 π n$

Умножим $n$ на $n$ .

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π n^{2}$

$2.06075365 + 2 π n$

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π n^{2}$

$2.06075365 + 2 π n$

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 = 1.080839 + 4.1215073 n + 4 π n^{2}$

$2.06075365 + 2 π n$

Перенесем все члены с $n$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $4.1215073 n$ из обеих частей уравнения.

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 - 4.1215073 n = 1.080839 + 4 π n^{2}$

$2.06075365 + 2 π n$

Вычтем $4 π n^{2}$ из обеих частей уравнения.

$4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 - 4.1215073 n - 4 π n^{2} = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

Объединим противоположные члены в $4.1215073 n + 4 π n^{2} + 1.080839 - 4.1215073 n - 4 π n^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $4.1215073 n$ из $4.1215073 n$ .

$0 n + 4 π n^{2} + 1.080839 - 4 π n^{2} = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

Вычтем $4 π n^{2}$ из $4 π n^{2}$ .

$0 n + 0 + 1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

Добавим $0 n$ и $0$ .

$0 n + 1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

$0 n + 1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

Умножим $0$ на $n$ .

$0 + 1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

Добавим $0$ и $1.080839$ .

$1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

$1.080839 = 1.080839$

$2.06075365 + 2 π n$

Поскольку $1.080839 = 1.080839$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное

$2.06075365 + 2 π n$

Всегда истинное

$2.06075365 + 2 π n$

Step 9

Данная упрощенная система служит произвольным решением исходной системы уравнений.

Всегда истинное

$2.06075365 + 2 (2.06075365 + 2 π n) \cdot n$