Основы мат. анализа Примеры

$x (3 x + 1) > 0$ , $x - 2 < 100$

Этап 1

Упростим первое неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$3 x + 1 = 0$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.3

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.3.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (3 x + 1) > 0$ верно.

$x = 0, - \frac{1}{3}$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.5

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 0$

$x > 0$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.6

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Проверим значение на интервале $x < - \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Выберем значение на интервале $x < - \frac{1}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 3$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.6.1.2

Заменим $x$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$(- 3) (3 (- 3) + 1) > 0$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.6.1.3

Левая часть $24$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина или $x - 2 < 100$

Этап 1.6.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{3} < x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{3} < x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 0.17$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.6.2.2

Заменим $x$ на $- 0.17$ в исходном неравенстве.

$(- 0.17) (3 (- 0.17) + 1) > 0$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.6.2.3

Левая часть $- 0.0833$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь или $x - 2 < 100$

Этап 1.6.3

Проверим значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.3.1

Выберем значение на интервале $x > 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.6.3.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$(2) (3 (2) + 1) > 0$ или $x - 2 < 100$

Этап 1.6.3.3

Левая часть $14$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина или $x - 2 < 100$

Этап 1.6.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - \frac{1}{3}$ Истина

$- \frac{1}{3} < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина или $x - 2 < 100$

$x < - \frac{1}{3}$ Истина

$- \frac{1}{3} < x < 0$ Ложь

$x > 0$ Истина или $x - 2 < 100$

Этап 1.7

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$x < - \frac{1}{3}$ или $x > 0$ или $x - 2 < 100$

Этап 2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Добавим $2$ к обеим частям неравенства.

$x < - \frac{1}{3}$ или $x > 0$ или $x < 100 + 2$

Этап 2.2

Добавим $100$ и $2$ .

$x < - \frac{1}{3}$ или $x > 0$ или $x < 102$

Этап 3

Объединение состоит из всех элементов, содержащихся в любом интервале.

Все вещественные числа

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Все вещественные числа

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Этап 5