Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x) > 0$ , $\cos (x) > 0$

Этап 1

Упростим первое неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x > \arcsin (0)$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x > 0$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.7

Объединим ответы.

$x = π n$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Проверим значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.9.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\sin (2) > 0$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.9.1.3

Левая часть $0.90929742$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина или $\cos (x) > 0$

Этап 1.9.2

Проверим значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Выберем значение на интервале $π < x < 2 π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 5$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.9.2.2

Заменим $x$ на $5$ в исходном неравенстве.

$\sin (5) > 0$ или $\cos (x) > 0$

Этап 1.9.2.3

Левая часть $- 0.95892427$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь или $\cos (x) > 0$

Этап 1.9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < π$ Истина

$π < x < 2 π$ False or $\cos (x) > 0$

$0 < x < π$ Истина

$π < x < 2 π$ False or $\cos (x) > 0$

Этап 1.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $\cos (x) > 0$

Этап 2

Упростим второе неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x > \arccos (0)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x > \frac{π}{2}$

Этап 2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = \frac{3 π}{2}$

Этап 2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = \frac{π}{2} + π n$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Этап 2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = 3$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $\sin (3) > 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $0.14112$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ or True

Этап 2.9.2

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $x = 6$

Этап 2.9.2.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $\sin (6) > 0$

Этап 2.9.2.3

Левая часть $- 0.27941549$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ or False

Этап 2.9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ or $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Ложь

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ or $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ True

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Ложь

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ или $\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$

Этап 3