Основы мат. анализа Примеры

$n^{3} = - 75$ , $n^{6} = - 9375$

Этап 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \sqrt[3]{- 75}$

$n^{6} = - 9375$

Этап 2

Упростим $\sqrt[3]{- 75}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $- 75$ в виде ${(- 1)}^{3} \cdot 75$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$n = \sqrt[3]{- 1 \cdot 75}$

$n^{6} = - 9375$

Этап 2.1.2

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$n = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 75}$

$n^{6} = - 9375$

$n = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 75}$

$n^{6} = - 9375$

Этап 2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$n = - 1 \sqrt[3]{75}$

$n^{6} = - 9375$

Этап 2.3

Перепишем $- 1 \sqrt[3]{75}$ в виде $- \sqrt[3]{75}$ .

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n^{6} = - 9375$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n^{6} = - 9375$

Этап 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$n = \pm \sqrt[6]{- 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Этап 4

Упростим $\pm \sqrt[6]{- 9375}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $- 9375$ в виде $i^{6} \cdot 9375$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $- 9375$ в виде $- 1 (9375)$ .

$n = \pm \sqrt[6]{- 1 \cdot 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Этап 4.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $i^{6}$ .

$n = \pm \sqrt[6]{i^{6} \cdot 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n = \pm \sqrt[6]{i^{6} \cdot 9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Этап 4.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$n = \pm i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n = \pm i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Этап 5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$n = i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Этап 5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$n = - i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Этап 5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$n = i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

$n = i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}$

$n = - \sqrt[3]{75}$

Этап 6

Поскольку корни уравнения — это точки, где решение равно $0$ , установим каждый корень как множитель уравнения, которое равно $0$ .

$(n - (- \sqrt[3]{75})) (n - (i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375})) (n - (- i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375})) = 0$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $n + \sqrt[3]{75}$ на каждый элемент матрицы.

$((n + \sqrt[3]{75}) (n - i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Развернем $(n + \sqrt[3]{75}) (n - i \sqrt[6]{9375})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(n (n - i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} (n - i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} (n - i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(n \cdot n + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n + \sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Умножим $n$ на $n$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n + \sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.2

Умножим $\sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{75}$ в виде $75^{\frac{1}{3}}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (75^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.2.1.2

Перепишем $75^{\frac{1}{3}}$ в виде $75^{\frac{2}{6}}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (75^{\frac{2}{6}} \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.2.1.3

Перепишем $75^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{75^{2}}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (\sqrt[6]{75^{2}} \sqrt[6]{9375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.2.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{75^{2} \cdot 9375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.2.3

Возведем $75$ в степень $2$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{5625 \cdot 9375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.2.4

Умножим $5625$ на $9375$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{52734375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.3

Перепишем $52734375$ в виде $5^{6} \cdot 3375$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Вынесем множитель $15625$ из $52734375$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{15625 (3375)}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.3.2

Перепишем $15625$ в виде $5^{6}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i \sqrt[6]{5^{6} \cdot 3375}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt[6]{3375}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.5

Перепишем $3375$ в виде $15^{3}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt[6]{15^{3}}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.6

Перепишем $\sqrt[6]{15^{3}}$ в виде $\sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - i (5 \sqrt{15}), (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.2.8

Умножим $5$ на $- 1$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, (n + \sqrt[3]{75}) (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.4

Умножим $\sqrt[3]{75} (- i \sqrt[6]{9375})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{75}$ в виде $75^{\frac{1}{3}}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (75^{\frac{1}{3}} \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.4.1.2

Перепишем $75^{\frac{1}{3}}$ в виде $75^{\frac{2}{6}}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (75^{\frac{2}{6}} \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.4.1.3

Перепишем $75^{\frac{2}{6}}$ в виде $\sqrt[6]{75^{2}}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (\sqrt[6]{75^{2}} \sqrt[6]{9375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.4.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{75^{2} \cdot 9375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.4.3

Возведем $75$ в степень $2$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{5625 \cdot 9375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.4.4

Умножим $5625$ на $9375$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{52734375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Перепишем $52734375$ в виде $5^{6} \cdot 3375$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1.1

Вынесем множитель $15625$ из $52734375$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{15625 (3375)}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.5.1.2

Перепишем $15625$ в виде $5^{6}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i \sqrt[6]{5^{6} \cdot 3375}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.5.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt[6]{3375})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.5.3

Перепишем $3375$ в виде $15^{3}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt[6]{15^{3}})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.5.4

Перепишем $\sqrt[6]{15^{3}}$ в виде $\sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}}$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt{\sqrt[3]{15^{3}}})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.5.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - i (5 \sqrt{15})) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.5.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$(n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - 5 i \sqrt{15}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$

Этап 7.2.6

Изменим порядок множителей в $n^{2} + n (- i \sqrt[6]{9375}) + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, n (- i \sqrt[6]{9375}) - 5 i \sqrt{15}$ .

$(n^{2} - n i \sqrt[6]{9375} + \sqrt[3]{75} n - 5 i \sqrt{15}, - n i \sqrt[6]{9375} - 5 i \sqrt{15}) (n + i \sqrt[6]{9375}, - i \sqrt[6]{9375}) = 0$