Основы мат. анализа Примеры

$\cos (x) > 0$ , $\tan (x) < 0$

Этап 1

Упростим первое неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x > \arccos (0)$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x > \frac{π}{2}$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 1.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 1.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 1.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 1.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.7

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{2} + π n$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 3$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.9.1.2

Заменим $x$ на $3$ в исходном неравенстве.

$\cos (3) > 0$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.9.1.3

Левая часть $- 0.98999249$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь или $\tan (x) < 0$

Этап 1.9.2

Проверим значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.9.2.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$\cos (6) > 0$ или $\tan (x) < 0$

Этап 1.9.2.3

Левая часть $0.96017028$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина или $\tan (x) < 0$

Этап 1.9.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Ложь

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Истина или $\tan (x) < 0$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Ложь

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Истина или $\tan (x) < 0$

Этап 1.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $\tan (x) < 0$

Этап 2

Упростим второе неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $x < \arctan (0)$

Этап 2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $x < 0$

Этап 2.3

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $x = π + 0$

Этап 2.4

Добавим $π$ и $0$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $x = π$

Этап 2.5

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.6

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $x = π n, π + π n$

Этап 2.7

Объединим ответы.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $x = π n$

Этап 2.8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $0 < x < π$

Этап 2.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Проверим значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $x = 2$

Этап 2.9.1.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $\tan (2) < 0$

Этап 2.9.1.3

Левая часть $- 2.18503986$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ or True

Этап 2.9.2

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ or $0 < x < π$ True

Этап 2.10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{2} + 2 π n$ или $0 + π n < x < π + π n$

Этап 3