Основы мат. анализа Примеры

$x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 36 = 0$ , $x = 3$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{3} + 4 x^{2}) - 9 x - 36 = 0$

$x = 3$

Этап 1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{2} (x + 4) - 9 (x + 4) = 0$

$x = 3$

$x^{2} (x + 4) - 9 (x + 4) = 0$

$x = 3$

Этап 1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - 9) = 0$

$x = 3$

Этап 1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x + 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

$x = 3$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$(x + 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

$x = 3$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

$x = 3$

$(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

$x = 3$

$(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

$x = 3$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Этап 3

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

$x = 3$

Этап 3.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

$x = 3$

$x = - 4$

$x = 3$

Этап 4

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

$x = 3$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = - 3$

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = - 4, - 3, 3$

$x = 3$

Этап 7

Поскольку корни уравнения — это точки, где решение равно $0$ , установим каждый корень как множитель уравнения, которое равно $0$ .

$(x - (- 4, - 3, 3)) (x - 3) = 0$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 4, - 3, 3) x + (x + 4, - 3, 3) \cdot - 3 = 0$

Этап 8.1.2

Перенесем $- 3$ влево от $(x + 4, - 3, 3)$ .

$(x + 4, - 3, 3) x - 3 \cdot (x + 4, - 3, 3) = 0$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $- 3$ на каждый элемент матрицы.

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 (x + 4), - 3 \cdot - 3, - 3 \cdot 3) = 0$

Этап 8.2.2

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 3 \cdot 4, - 3 \cdot - 3, - 3 \cdot 3) = 0$

Этап 8.2.2.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 12, - 3 \cdot - 3, - 3 \cdot 3) = 0$

Этап 8.2.2.3

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 12, 9, - 3 \cdot 3) = 0$

Этап 8.2.2.4

Умножим $- 3$ на $3$ .

$(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 12, 9, - 9) = 0$

Этап 8.3

Изменим порядок множителей в $(x + 4, - 3, 3) x + (- 3 x - 12, 9, - 9)$ .

$x (x + 4, - 3, 3) + (- 3 x - 12, 9, - 9) = 0$