Основы мат. анализа Примеры

$a x + b y = 0$ , $a^{2} x + b^{2} y = 1$

Step 1

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вычтем $b y$ из обеих частей уравнения.

$a x = - b y$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

Разделим каждый член $a x = - b y$ на $a$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Разделим каждый член $a x = - b y$ на $a$ .

$\frac{a x}{a} = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = \frac{- b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$a^{2} x + b^{2} y = 1$

Step 2

Решим уравнение относительно $b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- a^{2} \frac{b y}{a} + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $a$ из $- a^{2}$ .

$a (- a) (\frac{b y}{a}) + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

Сократим общий множитель.

$a (- a) (\frac{b y}{a}) + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

Перепишем это выражение.

$- a (b y) + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$- a b y + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

$- a b y + b^{2} y = 1$

$x = - \frac{b y}{a}$

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- a b y + b^{2} y - 1 = 0$

$x = - \frac{b y}{a}$

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Подставим значения $a = y$ , $b = - a y$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $b$ .

$\frac{a y \pm \sqrt{{(- a y)}^{2} - 4 \cdot (y \cdot - 1)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- a y$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- a)}^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Применим правило умножения к $- a$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{1 a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Умножим $a^{2}$ на $1$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{a^{2} y^{2} + 4 y}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Вынесем множитель $y$ из $a^{2} y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $y$ из $a^{2} y^{2}$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y) + 4 y}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y) + y \cdot 4}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Вынесем множитель $y$ из $y (a^{2} y) + y \cdot 4$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Заменим $\pm$ на $+$ .

$b = \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- a y$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- a)}^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Применим правило умножения к $- a$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{1 a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Умножим $a^{2}$ на $1$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{a^{2} y^{2} - 4 \cdot y \cdot - 1}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{a^{2} y^{2} + 4 y}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Вынесем множитель $y$ из $a^{2} y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $y$ из $a^{2} y^{2}$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y) + 4 y}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y) + y \cdot 4}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Вынесем множитель $y$ из $y (a^{2} y) + y \cdot 4$ .

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y \pm \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Заменим $\pm$ на $-$ .

$b = \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$b = \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$b = \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

$b = \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$b = \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$

$x = - \frac{b y}{a}$

Step 3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $0$ .

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$a (- (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot \frac{y}{a}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}, \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Step 4

Данная упрощенная система служит произвольным решением исходной системы уравнений.

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Step 5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим $a (- (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot \frac{y}{a}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- a (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y (\frac{y}{a})}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Объединим $\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}$ и $\frac{y}{a}$ .

$- a \frac{(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y})}{a} + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $a$ из $- a$ .

$a \cdot (- 1 \frac{(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y})}{a}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Сократим общий множитель.

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Перепишем это выражение.

$- (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y}) + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) \cdot y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$- \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$- \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} + (\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Изменим порядок $- \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y} y$ и $(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y$ .

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}, \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{2 (0)}$

Step 6

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Умножим $2$ на $0$ .

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$b = \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$

$b = \frac{a (0) + \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}, \frac{a (0) - \sqrt{(0) (a^{2} (0) + 4)}}{0}$

$(\frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}) y - \frac{a y + \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y}, \frac{a y - \sqrt{y (a^{2} y + 4)}}{2 y \cdot y} = 0$