Основы мат. анализа Примеры

$y > 4^{x}$ , $y < 8 - x^{2}$ , $x + y > 0$

Этап 1

Упростим первое неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$4^{x} < y$ и $y < 8 - x^{2}$

Этап 1.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (4^{x}) < \ln (y)$ и $y < 8 - x^{2}$

Этап 1.3

Развернем $\ln (4^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (4) < \ln (y)$ и $y < 8 - x^{2}$

Этап 1.4

Разделим каждый член $x \ln (4) < \ln (y)$ на $\ln (4)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Разделим каждый член $x \ln (4) < \ln (y)$ на $\ln (4)$ .

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < 8 - x^{2}$

Этап 1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (4)}{\ln (4)} < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < 8 - x^{2}$

Этап 1.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < 8 - x^{2}$

Этап 2

Упростим второе неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем таким образом, чтобы $x$ оказалось в левой части неравенства.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $8 - x^{2} > y$

Этап 2.2

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- x^{2} > y - 8$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- x^{2} > y - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- x^{2} > y - 8$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $\frac{- x^{2}}{- 1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $\frac{x^{2}}{1} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $x^{2} < \frac{y}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{y}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $x^{2} < - 1 \cdot y + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot y$ в виде $- y$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $x^{2} < - y + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.3.3.1.3

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $x^{2} < - y + 8$

Этап 2.4

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $\sqrt{x^{2}} < \sqrt{- y + 8}$

Этап 2.5

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $| x | < \sqrt{- y + 8}$

Этап 2.6

Запишем $| x | < \sqrt{- y + 8}$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$x \geq 0$

Этап 2.6.2

В части, где $x$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$x < \sqrt{- y + 8}$

Этап 2.6.3

Найдем область определения $x < \sqrt{- y + 8}$ и пересечение с $x \geq 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Найдем область определения $x < \sqrt{- y + 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.1

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- y + 8}$ большим или равным $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$- y + 8 \geq 0$

Этап 2.6.3.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$- y \geq - 8$

Этап 2.6.3.1.2.2

Разделим каждый член $- y \geq - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.2.2.1

Разделим каждый член $- y \geq - 8$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.6.3.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.6.3.1.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.6.3.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$y \leq 8$

Этап 2.6.3.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 8]$

Этап 2.6.3.2

Найдем пересечение $x \geq 0$ и $(- \infty, 8]$ .

$0 \leq x \leq 8$

Этап 2.6.4

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$x < 0$

Этап 2.6.5

В части, где $x$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- x < \sqrt{- y + 8}$

Этап 2.6.6

Найдем область определения $- x < \sqrt{- y + 8}$ и пересечение с $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1

Найдем область определения $- x < \sqrt{- y + 8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1.1

$- y + 8 \geq 0$

Этап 2.6.6.1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$- y \geq - 8$

Этап 2.6.6.1.2.2

Разделим каждый член $- y \geq - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1.2.2.1

$\frac{- y}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.6.6.1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.6.6.1.2.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y \leq \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.6.6.1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.6.1.2.2.3.1

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$y \leq 8$

Этап 2.6.6.1.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 8]$

Этап 2.6.6.2

Найдем пересечение $x < 0$ и $(- \infty, 8]$ .

$x < 0$

Этап 2.6.7

Запишем в виде кусочной функции.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и ${\begin{cases} x < \sqrt{- y + 8} & 0 \leq x \leq 8 \\ - x < \sqrt{- y + 8} & x < 0 \end{cases}$

Этап 2.7

Решим $x < \sqrt{- y + 8}$ , когда $0 \leq x \leq 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Решим $x < \sqrt{- y + 8}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.1

Перепишем таким образом, чтобы $y$ оказалось в левой части неравенства.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $\sqrt{- y + 8} > x$

Этап 2.7.1.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > x^{2}$

Этап 2.7.1.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- y + 8}$ в виде ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > x^{2}$

Этап 2.7.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.2.1

Упростим ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Этап 2.7.1.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > x^{2}$

Этап 2.7.1.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- y + 8 > x^{2}$

Этап 2.7.1.3.2.1.2

Упростим.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- y + 8 > x^{2}$

Этап 2.7.1.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.1

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- y > x^{2} - 8$

Этап 2.7.1.4.2

Разделим каждый член $- y > x^{2} - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.2.1

Разделим каждый член $- y > x^{2} - 8$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.7.1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.7.1.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.7.1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.7.1.4.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.7.1.4.2.3.1.3

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < - x^{2} + 8$

Этап 2.7.2

Найдем пересечение $y < - x^{2} + 8$ и $0 \leq x \leq 8$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $0 \leq x \leq N o$ Minimum

Этап 2.8

Решим $- x < \sqrt{- y + 8}$ , когда $x < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Решим $- x < \sqrt{- y + 8}$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Перепишем таким образом, чтобы $y$ оказалось в левой части неравенства.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $\sqrt{- y + 8} > - x$

Этап 2.8.1.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части неравенства, возведем обе части неравенства в квадрат.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и ${\sqrt{- y + 8}}^{2} > {(- x)}^{2}$

Этап 2.8.1.3

Упростим каждую часть неравенства.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- y + 8}$ в виде ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(- x)}^{2}$

Этап 2.8.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.3.2.1

Упростим ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- y + 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Этап 2.8.1.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и ${(- y + 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(- x)}^{2}$

Этап 2.8.1.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Этап 2.8.1.3.2.1.2

Упростим.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- y + 8 > {(- x)}^{2}$

Этап 2.8.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.3.3.1

Упростим ${(- x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.3.3.1.1

Применим правило умножения к $- x$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- y + 8 > {(- 1)}^{2} x^{2}$

Этап 2.8.1.3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- y + 8 > 1 x^{2}$

Этап 2.8.1.3.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- y + 8 > x^{2}$

Этап 2.8.1.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Вычтем $8$ из обеих частей неравенства.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $- y > x^{2} - 8$

Этап 2.8.1.4.2

Разделим каждый член $- y > x^{2} - 8$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.2.1

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $\frac{- y}{- 1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.8.1.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $\frac{y}{1} < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.8.1.4.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.8.1.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.2.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.8.1.4.2.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Этап 2.8.1.4.2.3.1.3

Разделим $- 8$ на $- 1$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ и $y < - x^{2} + 8$

Этап 2.8.2

Найдем пересечение $y < - x^{2} + 8$ и $x < 0$ .

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Minimum

Этап 2.9

Найдем объединение решений.

$x < \frac{\ln (y)}{\ln (4)}$ and $x < N o$ Maximum

Этап 3